Sur la fonction Sn"x. 



(Extrait d'une lettre de M. Ch. Hermite à M. MirrAG-LEFFLER.) 



Soit proposé de décomposer en éléments simples, une puissance entière 

 quelconque a de snx] cette fonction n'ajant, qu'un seul pôle x = iK', je pose 

 x = i K' + t, et comme vous le savez, il faudra calculer la partie principal du 



développement de (-r j suivant les puissances croissantes de t. Soit donc: 



1 ]_ ^ A„ 



s Vf t ~ t" ^ t"-^ " + • • • + ^„-2,^ + • • • 



Je remarque que A,, , est le coefficient de , dans le développement 



,a-2)i— 1 



de la quantité: -„ — . On peut par suite le définir comme le résidu de 



cette fonction qui correspond à £ = , d'où cette expression : 



1 />vi-2n— 1 



l'intégrale se rapportant à un contour infiniment petit qui comprend l'origine 

 à son intérieur. Pour décrire un tel contour, il faut poser: 



s = Q (cos t + i sin t) 

 Q étant infiniment petit et faire varier tdei = 0ht = 2i3t. Or en changeant 

 de variable, et faisant: snz = ^, il est clair qu'ayant aux infiniment petits 

 près du 3"" ordre: ^ = 3 \il nouvelle quantité g', décrira comme s, une circon- 

 férence infiniment petite, dont le centre est à l'origine. Par conséquent nous 



voici amenés à la détermination du coefficient de -y, dans le développement 

 suivant les puissances croissantes de b, de l'expression suivante: 



