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Où j'ai fait : JS (r) = (1 - t') (1 - /^' ?')• 



Soit à cet effet: 



/ i^t ri y n—2n n—2n , 



on aura en prenant les dérivées 





d'où 



^s tZf \"--"-' 1 «Z,„ 1 



f (/:■ 



+ 



r VJo l/iî(0/ VRiO ' ' ' a-2n l 



Le coefficient .4,, , qu'il s'agissait d'obtenir, a donc pour valeur: 



a, A^,^ 



■a,, — 



a — 2n 



et s'obtient, ce qui est bien remarquable, par le développement des puissances 

 de l'intégrale elliptique de première espèce. C'est Jacobi qui a découvert ce ré- 

 sultat par une analyse extrêmement belle, au §. 45 des Fundamenta, et je n'ai 

 eu d'autre but que d'y parvenir en suivant la voie de la décomposition en élé- 

 ments simples. Pour achever le calcul, je suppose en premier lieu que a soit 

 impair, je mettrai sous la forme canonique, la partie principale du développe- 

 ment de :, — , comme il suit: 



s n £ 



sn" s ~ r(a)- ^ ' r{a-2) ^ ' r(a-4:) "^ ' ' " 



et d'après la formule concernant les fonctions de seconde espèce^ ce qui est 



ici le cas, puisque nous avons: 



sn"- (x-\-2K) = - s n"' x , 



nous aurons: 



,, . D„_i snx D„_3 snx 



{k s n x)" = " jT(^ + A, j.(„_2) + etc. 



Admettons en suite que a soit pair, ce qui nous conduit aux fonctions de 1" 



espèce dont l'élément simple est la quantité ^ / s . Vous remarquerez d abord 



que la formule : 



jjc-snrxdœ = ^ - gT^) , 



