Sur hl fonrt/ov S n" t. 441 



(Iniino 



,0 ...s J j, 0'(^) 



D'' k' s tr X — — D.j,, ^ , 



puis : 



(^(«■) 



W(ic) ' 

 do sorte que l'expression canonique étant: 



_ -^«-1 e _ A ■L^a-?,J 



sn'e r\a) ^ r{a-2) ' 



nous obtenons on désignant par 6', une certaine constante: 



D„^o{khrrx) D„_i(frsn" x) 



(/,•««,..•)" = c+ -^-,^^^^-- - + A --jT(;p27- + • • • • 



Eestc à déterminer cette constante, ce qui est facile comme vous allez voir: 



Soit en général F{x) une fonction doublement i)ériodi(iue de première 



espèce, qui admet pour pôle unique x = iK'. Posons x = iK' i-E et joignons 



le terme constant à la partie principale du développement suivant les puissances 



croissantes de , de sorte qu'on ait: 



F{lÅ +i) = «0 + -■ 2 + -,3 + TT + • • ■ + -^iT+T , 



^ f ê f t 



le terme en manquant dans le second membre, comme il est nécessaire. 

 L'expression de la fonction sera la suivante: 



F {x) = C + Ci k s nr x — r — ^ 



+ 



1.2.3 +■■■ + [ ij 1.2...W+1 



et la constante se trouvera déterminée par cette formule: 



^ «2 &1 «4 92 «2.- ffi 



C=a,-a!,,- -3- - "5 - ... - '^-^^ > 



où les quantités ()„ , r/i , etc. résultent de la série : 



JWx = a? "^ •''' + ■'' ^' + ^'' ^'' + • • ■ + ^^f' •'"' + • • ' 



n n— \ . . 



le nombre i désignant ~^ ou — ^ — , suivant que n est pair ou impair. 



J'en ferai une application en considérant la fonction que j'ai emidoyéo comni(! 

 élément simple dans mes recherches, à savoir : 



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