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C II. H ERMITE. 



& (CO) 



Xx 





2 K 



et je calculerai l'expression du produit : 



F{x) = DJ{x).DJ,{x), 

 où fi{x) représente ce que devient f{x), si l'on change X et « en —2 et — r.j. 

 Nous aurons d'abord en faisant: x = i K' + t: 



, & (m) 



les quantités .Q, étant: 



1 



+ X + 



A- - ß 2^ - 3 ß A - 2 ßi 



£ + 



6 



+ 



X — O lîo A — o li&j X — o Jao 



24 



f^ + 



L<2 = Å;" s »r r.) — — ^ — , ßi = 1;- s n oj c n r.j rf « r,j , 



ßo = /« s 11 c, 



fl) 



2 Ä; 2(1+^2) 



.s n" ro 



7-22 Å:"+ 7Â: 

 45 



De la on tire facilement: 



^ , , , ß2 + 3 ßo A^ - ß 1 



F{x) = ß Â^ + 2 ß 1 2 + ^ -" - -~^— + ^4 



Cette expression donne : 



et en remplaçant la dérivée seconde par son expression: 



F (a;) = /,:* sn*x 



X- -Si + 2 



1 +/r 



le- 



k- sn^x + -^ + C, 



Ä;- 



ou bien : F (a-) = kUn^x- {X- - k'' s ir « + 1 + k~) /r s «- a; + -^ + G 



Je trouve ensuite en employant les coefficients : r/,, = 



1 + À" 



ffi 



l-k- + k 

 1 5 



et après quelques réductions faciles: 



2 k 



C =k^ sn^ CO — k" (1 + k~) s ir a + — ^ — + 2k^ snm cnn rlnnX + k^sirnX^, 

 et de cette valeur je conclus enfin la formule suivante: 



y> F (x) = k" (s n'^ X + s ii^ x s n^ m + s w^ n) — (1 + k') (s ir x + s if m) 

 — X~ (s ir X — s ir r.)) + 2 A, .s « o) c w r.) r/ ?? r.) + 1 . 



