Analytisk framställning af några lakunära funktioner. 



De flesta hittills behandlade analj-tiska funktioner existera öfver hela pla- 

 net utom i vissa singulära inmkter. Weierstrass har dock uti en afhandling 

 ''Zur Functionenlchre"^) visat möjligheten af och gifvit exempel på entydiga 

 analytiska funktioner, livilka icke existera på vissa linier eller ytor. Så är f(ir- 

 hållandet med en af honom bildad egendomlig potensserie, hvilken på sin kon- 

 vergenscirkel med radien 1 icke är ditferentierbar och derför icke kan fortsättas 

 utom denna cirkel och hvilken analytiska funktion sålunda icke existerar utom 

 cirkeln med radien 1. 



Vidare har Weierstrass uti redan citerade afhandling framstält serier af 

 algebraiska rationela funktioner, hvilka i olika delar af planet framställa olika 

 analytiska funktioner. Hermite har senare') ur ganska olika synpunkt, genom 

 studium af vissa uppstälda integraluttryck, behandlat samma frågor. 



I en not till nyss citci-ade afhandling anfiir han en af Herr Poincaué upp- 

 stäld formel, hvilken vi, enär den utgör utgångspunkten för föreliggonde af- 

 handling, här vilja anteckna. Den är följande: 



Fl P2 Pn 



V[^ Ui u^ ... u,. 



X — — 



Pl + P2 • ■ • + Vn 



der ?/i, «fo, . . . . n„ äro gifna qvantiteter, hvilkas absoluta belopp är mindre 

 än 1; «1, «2, . . . «„ godtyckliga konstanter; och i^i, j>2, . . . p„ uti summan 

 antaga alla positiva heltalsvärden. Inom eller på perimetern af en konvex 

 polygen, hvars alla hörnpunkter tillhöra punkterna «j, ko, • • • i<-n-, och sådan, 

 att alla öfriga u falla innanför eller på perimetern af densamma, finnes nu in- 

 gen punkt sådan, att för en huru liten omgifning som helst af densamma detta 

 uttryck kan sättas lika med en konvergerande potensserie. Utanför poljgoncn 



') Monatshericlit der Käiiigl. Akademie der Wissenscliaften zu Berlin vnm Aiiofiist ISSO. 

 -) „Sur quelques points de la tliénrie des fonctions. Extrait d'une lettre de y\. Ilerniite à Vi, 

 Mittag-Leffler." Acta Societatis Scicntiarum Fennicae. Toni. XII. 



