448 Theodor Homkn. 



framställer uttrycket en viss entydig analytisk funktion. I en senare afhand- 

 ling^) har Herr Poincaré visat, att denna funktion icke existerar innanför po- 

 lygonen, att sålunda nyssanförda uttryck definierar en entydig analytisk funk- 

 tion med den konvexa polygonen till „espace lacunaire". 



Af Professor Mittag-Lefflek, genom hvilken jag erhållit kännedom om 

 ofvan citerade, då ännu icke publicerade afliandlingar af Herrar HERMrrE och 

 Poincaré, uppmanades jag att, i öfverensstämmelse med Poincaré och Weier- 

 strass samt med användande af en af Herr Tannery uppstäld serie ^), hvilken, 

 innan den var publicerad, af honom blifvit Herr Mittag-Leffler meddelad, 

 dels söka bilda serier af algebraiska rationela funktioner, hvilka definiera 

 entydiga analytiska funktioner med cirkeln till ..espace lacunaire", dels serier, 

 hvilka i olika delar af planet framställa olika analytiska funktioner. 



Kalla vi en entydig analytisk funktion, hvilken existerar på alla sidor 

 utanför en enkelt sammanhängande yta, men icke inom densamma, lakunär för 

 detta område, så definerar följande serie af algebraiska rationela funktioner 



-X ;h=h, n-=.n M p ut 



»(=1 711 = 1, p = l „ ■»-.. gli 



n 

 der liksom öfveralt i det följande Ui, th, u-^ äro gifna qvantiteter sådana, att 



en entydig analytisk funktion, lakunär för cii'keln med radien 1, men utom 

 denna existerande öfver hela planet. 



m p 



Uti denna serie antaga nämligen qvantiteterna — och - hvarje rationelt tal- 

 värde mellan O och 1, samt värdet 1 och komma följaktligen hvarje tal mellan O 

 och 1 huru nära som helst. I en huru liten omgifning som helst af hvarje 

 punkt på periferin af cirkeln 1 — cirkeln med radien 1 — ligga följaktligen 



2 7Z i 



punkter, uti serien S representerade af värden på qvantiteten c " ; och 



genom en dylik omgifning af livarje punkt inom cirkeln 1 gå circlar med ra- 



f p ^'* 



dier lika med värden uti S på — . Då vidare qvantiteterna — och uti 



' n n n 



8 samtidigt, för samma värde på n uti dem bcgge, kunna antaga hvilka tvenne 



') „Sur les fonctinns à espapes lacunaire par II. Poincaré." Acta Socictatis Scientiarum Fenni- 

 cae Tom. XII. 



-) Ingår i ett mcdilelaiulc af Ilcrr Weierstrass uti „iNIdiiafsbericlit der K(inigl. Akademie der 

 Wissensrliaften y.n Berlin. Felirnar ISSI." 



