450 Theodor H OME N. 



ficienterna för samma potenser af (x — a) uti de serier, i livilka termerna 



H p tn 



U il u 



^ — äro utvecklade. 



•1) W* o • 



X — — en 

 n 



Då 8 för I a I = CO utvecklas i en potensscrie af (x — a), så är för 



v = n, m, p 



der «, m och p variera mellan samma gränser som uti 8. 



Att P( — j icke kan fortsättas innanför cirkeln 1, så mycket mindre kon- 



vergci-a för |a;|<^l, framgår af ett bevis af Herr Poincaré'), enligt hvilket 

 den potensserie P„ [x - a) , som erhållas, då 8 för ändligt värde på a utveck- 

 las i en potensserie af (x — a) , hvilken serie emedan 8 kan utvecklas endast 



i en potensserie af (x — a), är en fortsättning af P[~j, divergerar för 



\x — a\'^Ra, a må vara belägen hvar som helst utanför cirkeln 1. 



Utom de af Herr Poincaré gjorda förutsättningar, under hvilka omnämnda 

 bevis skall gälla, måste dock, som af det följande framgår, andra alternativa 

 sådana göras, af hvilka åter följer, att detsamma icke utan vidare gäller för 

 serien P, liksom ej heller för den å pag. 447 anförda serien af Herr Poincaké. 



Herr Poincaré har serien 



« = o 

 der 



X - K 



00 

 M = 



är absolut konvergent och alla h„ representera punkter innanför eller på en 

 konvex kontur G och så, att på ett huru litet stycke som helst af denna fin- 

 nas oändligt många punkter Z*„ . 



Om nu Xq är en punkt utanför konturen O, samt B radie uti en cirkel 

 kring a^y , som tangerar C, så är för 



') „Sur les fonctions à espace lacunaire i:ar H. Poincaré." Acta Socictatis Scientiarum Fenni- 

 cae. Tom. XII. 



