Äiialijtislc fninistüUniiKj af några lalcuiiiira funliknwr. 453 



Den entydiga analytiska funktion, som serien S tramställc]- utanför cirkeln 

 1, och livilken tlerstädes öfveralt kan återges af samma ena element i' f ], 



existerar således icke innanför cirkeln 1. Da nu funktionen för ingen omgif- 

 ning af någon punkt på periferin af densamma kan sättas lika med en kon- 

 vergerande potcnsserie, och detta således gäller för alla punkter af periferin 

 i omgifningen af en punkt, hvilken som helst på densamma, så existerar funk- 

 tionen ej heller någonstädes på periferin af cirkeln 1. 



Då, som visadt är, serien S innanför cirkeln 1 icke framställer någon 

 analytisk funktion, så definierar S en enda entydig analytisk funktion lakunär 

 för cirkeln med radien 1, men utanför denna existerande öfver hela planet. 



X 



Utom genom substitution af . , der r är ett positivt rcelt tal, i stället 



för .t,:, kunna ifall de värden, som p uti serie S tär antaga lämpligen faststäl- 

 las, serier bildas, som definiera entydiga analytiska funktioner, lakunära för 

 cirkeln med radien r, der r är ett jiositivt l'ationelt tal. På detta sätt kunna 

 vidare serier bildas, livilka i olika delar af planet framställa olika funktioner, 

 hvilka funktioner icke existera utanför de områden, der de af serierna framställas. 

 Låt sålunda r^ och r., vara tvenne positiva ändliga rationela tal, hvilka 

 gjorda liknämniga äro lika med 



Si So 



och vidare r^ <^ n , 



så framställer serien 



2j L - "^ 



«=i H)=i, 2)=«!» X ~ f^ e '"' 



tn 



der i) antager livaije helt talvärde från och med s^ n till och med s-, n , i pla- 

 net utanför cirkeln r.j en entydig analatysk funktion, lakunär för cirkeln r^; 

 inom cirkeln r^ en annan entydig analytisk funktion, lakunär för planet utan- 

 för cirkeln r^ ; men kan för ingen omgifning af någon punkt på periferierna 



2>1 «1 + ■ • • + Pn «H 



ändpunkter, så kan absoluta beloppet af summan af de termer, der qvantiteten , 



antar ett och samma värde pä sidan, blifva noll for vissa värden pä qvantiterna «, som dessa fä antaga. 



J)l «1 + . . . + i>,. «,„ 



Uppvisas bor derför att detta icke kan vara fallet tör alla de värden qvantiteten ; 



i?l + • • • + Pn 

 antager pä ett huru litet stycke som helst af ofvannämda sida. 



