'154 Theo DUK H OM EN. 



af cirklarna r^ ocli r.^ eller mellan dessa sättas lika med en konvergerande 



potcnsserie. 



Det sista, äfvensom att serien utanför cirkeln n framställer en funktiun 



p m 



-r- samt — 

 tn 11 



lakunär för cirkeln r.,, inses på grund af det föregående, emedan ^ samt J 



samtidigt kunna antaga, y- hvarje rationolt talvärde från och med r^ till ocli 



m 

 med fa 5 — hvarje positivt rationelt talvärde mindre eller lika med 1. Vi- 



tv 



dåre kan serien för | a | <^ rj , på samma grund och på samma sätt som för 

 I a I ^ r, , inom en cirkel kring a tangerande cirkeln rj utvecklas i en konver- 

 gerande potensserie af (x — a) , P„ (x — a). Om B„ betecknar radien i cirkeln 

 kring a, som, för | os | "\ >'i , tangerar cirkeln i\ , för | a | ^ n tangerar cir- 

 keln l'a, så bevises på samma sätt för | « | <C ''i som för | « | ^ r^, att P„ (x~a) 

 för ändligt värde på a divergerar för | re — « | ^ i?„ . Den af serien innanför 

 cirkeln r^ framstälda entydiga analytiska funktion, livilkeii inom hela detta om- 

 råde kan återges af samma element: 



Aw=Ê 2 



(v+l) m 

 v+i. — — - — 2 ni 



n m j) I n' " 



— Ui «2 Ma — ^ ^ 



p 



dei' qvantiteterna n, m, p variera mellan samma gränser som i den uppstälda 

 serien, existerar således icke utanför eller på periferin af cirkeln 7\ . 



Sättes 7\ = O, definierar den uppstälda serien, hvilken vi då beteckna med 



S % en entydig analytisk funktion lakunär för cirkeln r., . 

 Låt Ti, ra ... . ^2;; vara ändliga rationela tal och 



0^ri<r2< . . . . < %. 



Låt dem gjorda liknämniga vara lika med 



så framställer serien 



, . . . . Tnt- 



CO 



11 



11 m 2) 



tl^ M^ ^3 



_ _ p ^2ni ' 



der m antar alla lieltalsvärden från 1 till n samt p likaså alla heltalsvärden 

 Si n till §2 n, Sa n till S4 w . . . . , So^-i n till So^ n, inom de /v + 1 skilda områdena : 

 cirkeln i\ , planet utanför cirkeln r^^ , cirkelringarna mellan cirklarna r., och 



