Analytisk ftamställning af några lalxunära funktioner. 455 



rj, Ti och r-,, ...Uk-z och %_! , /î;+l entydiga analytiska funktioner, hvilka 

 icke existera utanför dessa respektive områden. För ingen omgifning deremot 

 af någon punkt inom eller på gränsen af cirkelringarna mellan dessa områden 

 kan serien sättas lika med en konvergerande potensserie. 



Om a är en punkt inom cirkelringen mellan cirklarna r och r , _ ., , 



så kan serien inom en cirkel kring a med radien B„ , der i?„ betecknar det 

 mindre af afstånden från a till cirklarna r„ och r,, , , sättas lika med en 



och endast en konvergerande potensserie af {oc, — a). Att denna potensserie, 

 ifall a ligger på olika afstånd från cirklarna r,, och r,, , divergerar för 



\x — a\^ Ra > hevises som förut'). Denna af serien framstälda entydiga ana- 

 lytiska funktion existerar sålunda blott innanför cirkelringen i fråga och kan 



öfveralt inom denna återges af summan af tvennc potensserier af (-7 j och (.r), 

 inom hvilka bådas konvergens område denna cirkelring faller, nämligen 



y y y A (lY -uy ä 



K = n= l, m = \ |_ p p 



der p i den förra summan varierer från Si n till So « . . . . , Soa_i n till s.v,. >i, i 

 den senare från s-^x + iii till s.ja + s»* • • • • j So,,-! w till %. «, samt qvantiteterna 

 A och A' äro lika med termerna uti koefficienterna för rite potenserna uti 



respektive serier F (~ ) och Pq (^O (pag- 450 och 454) på sätt indices ange. 

 Funktionen är lakunär för cirkeln r„ och för planet utan förcirkeln r 



2X ^ 2X+i 



Att den uppstälda serien har alla de angifna egenskaperna, är nu tydligt. 



(n) 

 Genom en linear substitution x ~ x i stället för x uti serien S or- 



hålles en serie, som vi beteckna S , hvilken definierar en entydig analytisk 



x,_ 



funktion, lakunär för cirkeln x^ — cirkeln kring x med radien r — . Summan 

 af k stycken sådana funktioner, lakunära för olika cirklar. 



111 



P 



-2 sr i 



A = l n=l m = l.p=l X—X—-. 6" 



definierar en entydig analytisk funktion, lakunär för hvar och en af cirklarna 

 ä\ ... iCj. , men utanför dessa existerande öfver hela planet. 



') Att potensscrien, ifall a ligger på lika afstånd (ZiVi) från ciikclperifeiiciiia ilivergerar fin' 

 I .<■ — (I I > i?i, fiiljpr liäraf. men kan äfven bevisas direkte i analogi med det föiegående. 



