456 Theodor Hohen. 



Att denna summa icke för en liuru liten omgifning som helst af någon 

 punkt inom eller på periferin af någon af cii-klarna a?! . . . x,. kan sättas lika 

 med en konvergerande potensserie, är tydligt, cirklarna må intaga hurudant 

 läge som helst till hvarandra. Vidare om a är en punkt utanför alla cirk- 

 larna och Piu det minsta af afstånden från a till cirkelperiferierna, kunna alla 

 serierna 8 . . . S inom cirkeln kring a med radien i?„ utvecklas i ohctingadt 



Xl Xj; 



konvergerande potensserier af [x — a). Den uppstälda summan kan således 

 inom denna omgifning af a utvecklas i en ohetingadt konvergerande potens- 

 serie' af {x — a). Om nu a ligger närmare till en af cirklarna Xt . . . . x,, , än 

 till alla öfriga, så utgör B„ konvergensradie för endast en af potensserierna 

 utvecklade ur serierna S,; de andra konvergera alla för större cirklar, och po- 

 tensserien ur den uppstälda summan konvergerar och divergera således sam- 

 tidigt med potensserien, hvilkcns konvergensradie är i?,/). Den entydiga ana- 

 lytiska funktion, som den ui)pstälda summan definierar utanför cirklarna 

 Xi . . . . tC;, , existerar således icke inom eller på periferierna af dessa cirklar. 



Ur S kunna vidare bildas serier, som definiera entydiga analytiska funk- 

 tioner, lakunära för ytor begränsade af andra slutna kroklinier än cirkeln. 



Låt cp (è>) vara en entydig, kontinuerlig och reel funktion af & från och 



f 



med O till och med — 2 jr , der (t och v äro positiva hela tal och 



v 



(t^f. 



Serien 



00 p = ih vi^/in n p m 



"S^ \} Ml ««2 ^3 



La Lj p fm \ m 



M = 1 V = I, m = O X — — cp I 2 Ä ) evn 



n ^\ vn I 



är då en entydig analytisk funktion, lakunär för ytan, som begränsas af linierna 

 från punkten noll till punkterna 9(0) och cf (^ - 2:t] cV"^' samt den linie 



mellan dessa, som, för & från och med O till och med — 2 ir , representeras 

 af eqvationcn r = (p (ö). 



Detta inses på grund af det föregående. Antages 



f/ = I' och (f (0) = (f' (2 ji) , 

 så begränsas denna yta af nyssnämda nu slutna linie. 



•)' 



') Häraf iiiljer att, om a liggor på samma minsta afstâiul Ma frän tvä cllor tre cllor möjligen 

 flere af cirlilarna .t-, n , lil<aså putensscrien ur den npiistiilila summan ilivergorar fiii- | x—n | >7?„. 



