Analytish framställnivg af iiåf/ra luhmiira fwildioncr. 



457 



En entydig analytisk fnnktion, lakunär för cirkeln med radien 1, definie- 

 ras vidare af serien 



n=x, p=n n—i „, ,, 



s-= y IP) „.V 



X 



n 



Vi bringa termerna uti S' under partialbråksforni ocli få: 



n=cp, p=n m=n n p — "^"^ 



«=1 ^=1 111= I 



11 »» o 



X — — e n 

 n 



Häraf framgår, att S' für ingen onigifning af någon punkt inom eller på 

 periferin af cirkeln 1 kan sättas lika med en konvergerande potensserie. Vi- 

 dare emedan 



n= cf , j)=ii m=n 



1 1 



n=\, p=l m-=l 



n 2) ^ n 



11= <x, p=ii 



= I 



n=-l, p=l 



n p 



'«1 11-2 



konvergerar, så kan *S'' för hvarje område utanför eirkeln 1 utvecklas i en ab- 

 solut ocb likformigt konvergerande enkelseric. Absoluta l)eloi)pet af summan 



af täljarena i de termer i denna, der qvantitctcn eli"^ antar värdet c m '^ , är 



•^ fl n,. 

 fi=i ^ '• 



som för ett ocb samma värde på, | ??, n., \ är minst, då (», ii._^ '• är ett negativt 

 reelt tal. Följaktligen är 



(1=1 



2 «, 



> 



I Ui Mo I 



n. 



Ml «2 



■^ I M, Maj 



2«,, 



Liksom serien S definierar således S' en entydig analytisk funktion, laku- 

 när för cirkeln 1, men utom densamma existerande öfver bela planet. 



En serie med samma egenskaper, som S ocb S' ocb med termer liknande 

 dem uti den af Herr Tanneuy uppstälda bär nedan (pag. 460) anförda serien, är 



n= (X, p=n 



2"--l 



n p 2" 



Wj tio 30 



« - Z („+1 2"^^/p + l^2" + ^ ■ 



«=0. t,=Cl O- — . , 



«=0, jj=0 



V « + 1 



58 



