458 



Theodor Homkn. 



Då termerna bringas under partialbråksform, så erhålles 



..„-{-i 



(-1) wi U2 e^ 



1 I 



»(=(', jj=0 111= 1 



o. + i/ JMJ. o. + i 

 V-^' « + 1 ' 



- 2 71 I 



Beviset föres nu på samma sätt, som för 6''. 



Qvantitcten ^.t+t l^f"! nämligen liär samtidigt, som , antar livarje 



positivt rationelt tnlviirde mindre eller liica med 1, komma livarje tal mellan 



III ., 



2 71 t 



O och 1 huru nära som helst. Vidare är för de termer der — e'^" = 



n 



1. c 2'"+' , der VI,, är ett udda tal, 



J!-lik lin 2 T i 



Etil 



»h 2 



2" + ^ 

 «1 MaX'"' Ml <<o — 1 



> 



9»;. + l 



Î<1 i/;jN"^- Ml «2 - 1 



*2"J 3 



1 n' 



(«1 ?':2) 



«=1 



II 2-U1U2 



Motsvarande serier till dem, S^'' o. s. v., som härleddes ur serien S, kunna 

 nu på samma sätt härledas ur serierna S' och S". 



Fastställes uti -S' och S'p = rn, uti S" p = r {n + 1) - \, erhållas serier, 

 hvilka livar och en utanför och innanför cirkeln r definiera skilda entydiga 

 analjtiska funktioner, hvilka ingendera existera utanför dessa respektive om- 

 råden, hvilka serier dei-emot för ingen omgifning af någon punkt på cirkeln 

 r kunna sättas lika med en konvergerande potensserie. Tecknas ih Vo med ?/i 

 och antages r=\, så erhållas serierna 



n— (X, m=n 



1 



«=1, m=i 



n' m 



Ut 11-2 



11 



n 



^ "1 v-1 "1 



n = i n=\.) 



X — e 

 med ofvan angifna egenskaper i afseende å cirkeln 1. 



Om «1 uti de beggc senare serierna antages lika med gränsvärdet + 1, 

 så erhålla dessa ganska olika egenskaper. Serien 



CC -I 



Zj "_ 1 



definierar nämligen en enda entydig analytisk funktion: 



