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fand dieselben 92 Lösungen, die schon Gauss angegeben 
hatte. Im Jahre 1869 stellte der französische Mathematiker 
Lionnet das Problem der acht Königinnen in den „Nou- 
velles Annales de Mathematiques“ (2 serie, tome III, p. 560) | 
von Neuem auf. Vorher schon, im Jahre 1867, hatten 
sich die Artillerie-Offiziere Parmentier und No& damit be- 
schäftigt, die sämmtlichen Lösungen methodisch aufzu- 
finden, ohne zu wissen, dass das Problem schon mehrfach 
vorher behandelt worden war. Sie theilten ihre Lösungs- 
methode 1879 dem Mathematiker Edouard Lucas mit, 
der sie in seinen „Recreations“ veröffentlichte. Die Ge- 
schichte des Problems stellte 1374 Prof. Siegmund Günther 
in dem Grunert’schen Archiv der Math. und Physik 
(Band 56, Theil III, S. 291 u. 292) zusammen, zugleich 
mit einer Ausdehnung des Problems auf ein quadratisches 
Brett mit 5 mal 5 Feldern. Endlich gab Professor Glaisher 
in Cambridge, der bekannte Herausgeber der Faktorentafeln, 
eine Erörterung des Problems auch in den Fällen, wo statt 
8 mal 8 Felder, 5 mal 5, 6 mal 6 und 7 mal 7 Felder 
gegeben sind. (Philos. Magazine, December 1874.) 
Nachdem wir das Problem selbst und die Geschichte 
desselben kennen gelernt haben, wollen wir zunächst 
an einer von den 92 Lösungen eine die Besprechung er- 
leichternde Bezeichnungsweise erklären. Die durch einen 
Punkt gekennzeichneten Felder der nebenstehenden Figur 
bilden eine genaue Lösung, weil niemals zwei markirte 
Felder in einer und derselben horizontalen, vertikalen oder 
diagonalen Linie liegen. 
Wir wollen nun sagen, dass 8 Felder, deren Oentren eine 
wagerechte Linie (von links nach rechts) bilden, in einer 
Reihe liegen, und dass 8 Felder, deren Centren eine 
senkrechte Linie (von unten nach oben) bilden, in einer 
Columne liegen. Nach den Bedingungen der Aufgabe 
muss immer auf jeder der acht Linien und auf jeder der 
acht Columnen ein Feld, aber auch nur ein Feld markirt 
sein. wir können desshalb eine Lösung sehr einfach da- 
durch bezeichnen, dass wir für die acht Columnen in der 
Reihenfolge von links nach rechts, die Zahlen hinschreiben, 
welehe angeben, das wievielte Feld, von unten nach oben 
gerechnet, markirt ist, so dass die oben in einer Schach- 
brett-Figur dargestellte Lösung durch die Zahlen-Gruppirung: 
26 174 835 
zu bezeichnen ist. Aus jeder Lösung können noch 7 weitere 
abgeleitete dadurch entstehen, dass man sich das Schach- 
brett entweder gedreht oder spiegelbildlich denkt. 
So entsteht aus der obigen Lösung die neue Lösung: 
68 241 753 
dadurch, dass man sich das Schachbrett im Sinne eines 
Uhrzeigers um eine Viertel-Umdrehung gedreht denkt. 
Durch Weiterdrehen, immer um eine Viertel-Umdrehung 
entstehen noch zwei weitere Lösungen, nämlich: 
46 152 837 und 64 285 713. 
Aus jeder dieser 4 Lösungen entsteht nun noch da- 
durch eine neue, dass man sich einen auf der Ebene des 
Sehachbretts senkrecht stehenden und diese Ebene in der 
linken Kante des Schachbretts schneidenden Spiegel vor- 
stellt und das Spiegelbild der Lösung betrachtet. Dadurch 
Naturwissenschaftliche Wochenschrift. Nr. 21 
entsteht aus jeder Lösung eine solche, deren Bezeichnung 
dieselben Zahlen, aber genau in umgekehrter Reihenfolge, 
enthält, also: 
53 847 162, 35 714 286, 73 825 164, 31 758 246. 
Nicht immer giebt eine Lösung auf diese Weise zu 
im ganzen 8 Lösungen Veranlassung. Zwar muss das 
Spiegelbild immer eine neue Lösung erzeugen, aber die 
Umdrehungen können auch die schon gefundenen Lösungen 
noch einmal liefern. Beispielsweise erzeugt die Lösung 
46827135, also die Figur: 
sich selbst wieder, wenn man sich das Schachbrett um 
eine halbe Umdrehung gedreht denkt. Eine neue Lösung 
erhält man dagegen, wenn man das Spiegelbild der ursprüng- 
lichen Lösung nimmt, oder, wenn man das Schachbrett 
um eine Viertel-Umdrehung wendet. _ Im letzteren Falle 
entsteht 35 281 746. Daauch das Spiegelbild dieser Lösung 
Neues giebt, so giebt 46 827 135 zu im ganzen drei weiteren 
Lösungen Veranlassung, nämlich zu: 
35 281 746, 53 172 864, 64 718 253. 
So gehören also entweder 8 oder 4 Lösungen der- 
artig zusammen, dass jede Lösung einer Gruppe die übrigen 
7 bezw. 3 in der besprochenen Weise zu erzeugen vermag. 
Die soeben erörterte Gruppe von 4 Lösungen ist die 
einzige Gruppe, die nur 4 Lösungen enthält. Ausserdem 
giebt es noch 11 Gruppen, deren jede 3 zusammengehörige 
Lösungen enthält. So entstehen im Ganzen die 92 Lö- 
sungen, die schon Gauss gefunden hat, und die wir hier mit 
Benutzung der oben erklärten Bezeichnungsweise zusammen- 
stellen. Wir ordnen dieselben, wie es schon Parmentier 
1867 that, nach der Grösse der vornstehenden Ziffern. 
Tabelle der 92 Lösungen des Problems der 
8 Königinnen. 
15563 724 | 36815 724 | 51468273 | 63 185247 
16 8537425 | 36824175 | 51842736 | 63571428 
17468253 | 37285146 | 51863724 | 63581427 
17582463 |, 37286415 | 52468317 | 63724815 
24683 175 | 38471625 | 52473861 | 63 728514 
25713 864 | 41582736 | 52617483 | 63 741 825 
25 741863 | 41586 372 | 52814736 | 64158 273 
261748355 | 42586137 | 53168247 | 64285 713 
26 831475 | 42736815 | 53172864 | 64 713528 
27368514 | 42736851 | 53847162 | 64718253 
27581463 | 42751863 | 57138642 | 68 241 753 
23613574 | 42857136 | 57142863 | 71386 425 
31 753246 | 42861 357 | 57248136 | 72418536 
35 281746 | 46152837 | 57263148 | 72651485 
35286471 | 46827135 | 57263184 | 73168524 
35 714286 | 46831752 | 57413862 | 73 825 164 
35 841 726 | 47185263 | 58413627 | 74258136 
36 258174 | 47382516 | 58417263 | 74286 135 
36 271485 | 47526138 | 61528374 | 75316 824 
36 275134 | 47.531682 | 62713584 | 82417536 
36418572 | 48136275 | 62714853. | 82531 746 
36 428571 | 48157263 | 63175824 | 83 162574 
36 814 752 | 48531726 | 68184275 | 84136 275: 
