Nr. 21. 
Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 
205 
LT — ————— nn 
Obwohl diese 92 Lösungen existiren, ist es doch sehr 
schwer, auch nur eine einzige Lösung durch Probiren zu 
finden. Dieses begreift man, wenn man bedenkt, dass 
die Zahlen von 1 bis 8, welche in den obigen Zahlen- 
Gruppirungen auf 92 Arten zusammengestellt sind, sich 
auf 1xX2x3%x4x5%x6x7%x8= 40320 Arten, über- 
haupt zusammenfassen lassen. 
Die obige Tabelle lässt sich genau in der angegebenen 
Reihenfolge der 92 Lösungen, durch ein methodisches 
Probiren auf folgende Weise finden. Man setzt zunächst eine 
Königin auf das unterste Feld der ersten Columne, die zweite 
Königin auf das unterste Feld von allen denjenigen Feldern 
der zweiten Columne, die nun noch möglich sind, also 
auf das dritte, Ebenso behandelt man jede weitere Co- 
lumne. Dann wird man bald dazu kommen, kein Feld 
einer Columne mehr zu finden, das nach den Bedingungen 
der Aufgabe noch besetzbar wäre. Man muss dann diesen 
Versuch als gescheitert betrachten, und auf die zweite 
Columne zurückgehend, das vierte statt des dritten Feldes 
besetzen. Auch dieser Versuch wird scheitern, und man 
wählt nun das fünfte Feld der zweiten Columne. Dieser 
Versuch wird erst dann gelingen, wenn man in der 
dritten Columne das achte Feld besetzt. So findet man 
als erste Lösung schliesslich 15 363 724. Auch mit dem 
sechsten Felde der zweiten Columne wird ein Versuch 
gelingen. Bei der Besetzung des siebenten Feldes ergeben 
sich dann zwei verschiedene Lösungen, dagegen gar keine 
bei der Besetzung des achten Feldes. So erhält man die 
4 Lösungen, bei denen das Feld links unten besetzt ist. 
Genau so methodisch weiter probirend, beginnt man mit 
dem zweiten Felde der ersten Columne, und erhält 
8 Lösungen, bis man schliesslich für das achte Feld der 
ersten Lösungen die 4 Lösungen erhält, die in der obigen 
Tabelle den Schluss bilden. Scharfsinniger als diese 
Methode, die im wesentlichen nichts weiter als ein mit 
Ordnungsliebe,, gepaartes Probiren ist, erweist sich die 
von La No& angegebene Methode, welcher von den 
4 Feldern ausgeht, die um die Mitte gruppirt sind, dann 
die 12 Felder betrachtet, die, diesen zunächst benachbart, 
sie ringformig umgeben, u. s. w. So erhält man ausser 
dem Mittelquadrat noch drei Umzäunungen nach aussen 
hin, von bezw. 12, 20, 28 Feldern. Besetzt man nun 
eins der Felder des Mittelquadrats willkürlich, so erkennt 
man sofort, dass die nächste Umzäunung nur auf zwei- 
fache Weise von zwei Königinnen besetzbar ist. Probirt 
man auf diese Weise weiter bis zu der äussersten Um- 
zäunung, so erhält man die 92 Lösungen auf leichtere 
und elegantere Art, als nach der ersten Methode. 
An das Problem der acht Königinnen schliesst sich 
die Frage an, welche sieben weitere Felder zu besetzen 
sind, wenn schon ein willkürlich gewähltes Feld durch 
eine Königin besetzt ist. Bezeichnet (a b) ein Feld, das 
von einer horizontalen Kante a, von der vertikalen Kante b 
Felder weit abliegt, oder umgekehrt, so giebt es nur 4 Lö- 
sungen, wenn die erste Königin eins der 4 mit (11) zu be- 
zeichnenden Eck-Felder besetzt hat, dagegen 8 für (21) 
als erstes Feld, und überhaupt ist die Zahl der Lösungen: 
4 für (11), 8 für (21), 16 für (31), 18 für (41), 16 für (22), 
14 für (32), 8 für (42), 4 für (33), 12 für (43), 8 für (44). 
Berücksichtigt man, dass durch (11), (22), (33), (44) je 
4 Felder, durch die übrigen Klammern je 8 Felder be- 
zeichnet werden, so erhält man hiernach 4. (4+16+4+ 5) 
plus 8. (8+16+18+14+3+12) = 736 als Lösungs- 
summe. Dies lässt sich auch aus der Lösungszahl 92 des 
Hauptproblems ableiten. Denn jede der 92 Lösungen 
giebt zu 3 Lösungen in dem neuen Sinne Veranlassung, 
und 92 mal 8 giebt in der That auch 736. 
Bisher haben wir immer nur von dem Problem der 
acht Königinnen auf den acht mal acht Feldern des 
eigentlichen Schachbretts gesprochen. Schon Günther 
und Glaisher haben jedoch das Problem auch für weniger 
quadratisch geordnete Felder behandelt. Für 4 mal 4 ist 
das Problem sehr leicht zu lösen. Es ergeben sich nur 
die beiden Lösungen 2413 und 3142, welche einander 
spiegelbildlich sind und durch die beiden folgenden Figuren 
dargestellt werden: 
Für fünf mal fünf Felder ergeben sich im Ganzen 
10 Lösungen, nämlich erstens 25 314 nebst ihrem Spiegel- 
bilde, zweitens 53142 nebst den sieben zugehörigen 
Lösungen, die aus ihr durch Drehung und Spiegelung 
entstehen. Eigenthümlich ist, dass für 6 mal 6 Felder 
die Zahl der Lösungen wieder herabsinkt. In diesem 
Falle giebt es nämlich keine weiteren Lösungen als die 
folgenden vier: 
® | | ı®| 
| 
ah! 
| 
| 
. 
| 
| 
| 
Sr 
| 
| 
® ® 
3. 4. 
Bei sieben mal sieben Feldern wird die Lösungszahl 
wieder gross, nämlich 40, und zwar haben zwei Lösungen 
je nur drei zugehörige, während vier Lösungen je sieben 
zugehörige Lösungen besitzen. Die ersteren beiden sind: 
5 724 613 und 3 724615, 
während die vier letzteren durch die Zahlen-Gruppen: 
6 357 142, 4613 572, 1357 246, 3 572 416 
darstellbar sind. 
Für eine höhere Anzahl von Feldern als zehn mal 
zehn, ist die genaue Lösungszahl bis jetzt noch nicht 
bekannt. Vielleicht erwirbt sieh einer unserer Leser das 
Verdienst, das Problem der acht Königinnen auf höhere 
Felderzahl auszudehnen. Für 9 mal 9 und 10 mal 10 Felder 
hat neuerdings Herr Delannoy die 352 bezw. 724 Lösungen 
aufgestellt. 
Schliesslieh sei noch bemerkt, dass man, mit Hülfe 
unserer Bezeiechnungsweise durch Zahlengruppen, unserm 
Probleme auch eine rein arithmetische Fassung geben kann, 
die es gestattet, von der Figur des Schachbretts ganz 
abzusehen. Denkt man sich nämlich die Zahlen von 
1 bis 8 in allen möglichen Anordnungen (Permutationen) 
geschrieben, so erhält man 1X2x3x4x5x6x7x5 
gleich 40320 Gruppen. Diese Gruppen würden die 
sämmtliehen Lösungen der Aufgabe darstellen, nicht acht 
