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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 
Nr. 25. 
die Wahl eines kleineren Werthes von a„, 1 ganz zweck- 
los wäre. Wählt man also 41 =%+ 1, so folgt 
HH nmntBtr... +. HH tt ti=2, +1 
und daher 
3 —n+4t1=2 a HdR 41 
Da nun «4 —1 ist, so ergiebt sich hiernach 
Da 20 lr 
Man kann also aus der Reihe der Zahlen 
1, 2,4,... 2”-1 dureh Addition alle Zahlen von 
1 bis 2” — 1 bilden. 
Verlangt man nun, dass sich aus der Reihe der 
Zahlen a,, a, ... durch Addition und Subtraction 
möglichst viele aufeinander folgende Zahlen zusammen- 
setzen lassen sollen, so werde angenommen, dass a, ... 4 
der Forderung gemäss bestimmt seien, alsdann muss 
@„+ı 80 gewählt werden, dass sich aus a,, @, ».. +1 
n 
die Zahl s, + 1= 8a; + 1 zusammensetzen lässt. Dann 
i—1 
kann sein: 
1) @„+1 == 1, eine Annahme, die uns auf die natür- 
lichen Zahlen führt, also nicht weiter in Betracht kommt. 
2) +18, 4 1, falls nur Addition erlaubt wäre; 
dann käme man aber auf den oben erledigten Fall zurück. 
Wenn aber, wie vorausgesetzt, auch Subtraetion er- 
laubt ist, so kann 
3) An +1 So gewählt werden, dass a,ı, vermindert 
um ein Aggregat Na; der Zahlen a, ... «a, die Zahl 
s +, liefert, d. h. dass 
ya t1r Fa 
ist. Nun muss das Aggregat Na; offenbar so bestimmt 
werden, dass man mit demselben möglichst viele aufein- 
anderfolgende Zahlen zusammensetzen kann, d. h. 
= =, > 
Es wird alsdann 
An +r 25, Ar 1, 
also 
Sn +1 In + l; 
mit Rücksicht auf den Werth a, — 1 ergiebt sieh also 
— 
Es lassen sich also alle Zahlen von 1 bis 
n 
> 3° dureh Addition und Subtracetion aus den 
i=o 
Zahlen 1, 3, 9 
Ist nun m eine beliebige Zahl, so kann man fragen, 
welches die kleinste Zahl von Elementen ist, aus denen 
sich alle Zahlen von 1 bis » durch Addition und Sub- 
traction zusammensetzen lassen. Man sieht nun leicht, 
dass man die kleinste Zahl erhält, wenn man » aus der 
Bedingung 
‚27, ... 9% zusammensetzen. 
am D)em<!&—1) 
bestimmt. A. Gutzmer. 
Aus dem wissenschaftlichen Leben. 
Die philosophische Faeultät der Göttinger Univer- 
sität stellt für das Jahr 1895 folgende Aufgabe für den 
Beneke’schen Preis: „Die philosophische Faeultät wünscht 
Untersuehungen, welche in der Theorie der, von mehr als drei 
Veränderlichen abhängigen allgemeinen Thetafunetionen einen 
erheblichen Fortschritt bilden.“ Bewerbungsschriften sind in deut- 
scher, lateinischer oder französischer Sprache mit Motto und ver- 
schlossener Namensangabe bis zum 31. August 1894 an den Decan 
einzusenden. Der erste Preis beträgt 1700Mk., der zweite 650 Mk. 
Die belgische Akademie der Wissenschaften 
Brüssel hat die nachstehenden Preisaufgaben gestellt: 
Für das Jahr 1893. — 1. Es soll die Summe der Lambert- 
h X x x“ ® 
schen Reihe = Sir — +++. bestimmt werden. Oder 
1x 1—x” 1 
wenn diese Summe in bestimmter Form nicht ausdrückbar ist, 
soll die Differentialgleichung aufgefunden werden, von der sie 
abhängt. 2. Es werde ein wesentlicher Beitrag geliefert zum 
Studium der Beziehungen, die mau zwischen «(en geometrischen 
Grundelementen aufstellen kann. 3. Die Gleichungen der Ro- 
tationsbewegung der festen Erdrinde sind aufzustellen, unter Be- 
rücksiehtigung der äusseren Wirkungen, der Reibung der Rinde 
gegen den flüssigen Theil des Kernes und der inneren Reactionen. 
Die Art der Integrirung ist anzugeben, welche auf diese Gleichun- 
gen angewendet werden könnte. 4. Gewünseht werden Unter- 
suchungen über die Reduction der Zahl der Chromosomen vor der 
Befruchtung bei einem Thier oder einer Pflanze. 5. Neue Unter- 
suchungen werden verlangt über die belgische quaternäre Flora 
und besonders über die Torf-Flora dieser Epoche. 6. Neue mor- 
phologische Untersuchungen werden gewünscht, welche die Phylo- 
genese eines grossen Zweiges der Wirbellosen aufklären können. 
Einlieferungstermin bis zu dem 1. August 1895 
Für das Jahr 1894. — 1. Es sollen die verschiedenen Theorien 
auseinandergesetzt und diseutirt werden, welche aufgestellt worden 
sind zur Erklärung der Diffusion einer Flüssigkeit in eine andere 
Flüssigkeit; neue Thatsachen sind beizubringen zur Stütze der 
Werthschätzung dieser Theorien. 2. Gewünscht wird die Aus- 
einandersetzung und Kritik der verschiedenen Theorien, die vor- 
geschlagen sind zur Erklärung der Constitution der Lösungen. 
Durch neue Versuche sind unsere Kenntnisse über diese Frage 
zu vervollständigen, namentlich in dem, was die Existenz von 
Hydraten in wässerigen Lösungen betrifft. Einlieferungstermin 
bis zum 31. Juli 1394. 
Der Preis für jede der Aufgaben ist eine goldene Denkmünze 
im Werthe von 600 Frances. Die Abhandlungen können fran- 
zösisch, flämisch oder lateinisch abgefasst sein und sind mit Motto 
und verschlossener Namensangabe an den beständigen Seeretär 
nach Brüssel im Palais des Academies zu senden, 
zu 
Dr. v. Erlanger hat 30 000 Mk. zur Ausstattung des zoologi- 
schen Institutes in Heidelberg gespendet. 
Dr. Joh. Thiele hat sich an der Universität Jena für Chemie 
habilitirt. — Dr. W. Bruhns hat sich in Bonn für Geologie 
habilitirt. — Der o. Prof. Dr. Tiemann ist zum provis. Leiter 
des 1. chemischen Instituts der Universität Berlin ernannt worden. 
— Kustos Dr. Niedenzu am Botanischen Garten in Berlin zum 
Prof. am Lyceum in Braunsberg ernannt worden. — Dr. v.Hardtl 
ist zum a. 0. Prof. der theor. Astronomie an der Universität 
Innsbruck ernannt worden. 
Die Privatdocenten an der Universität Erlangen Dr. Graser, 
Assistent an der chirurgischen Klinik, und Dr. Paal, Assistent 
am chemischen Institut, sowie der Direetor der biologischen 
Station auf Helgoland Dr. Hejncke sind zu Professoren er- 
nannt worden. — Seite 221 Spalte 1 der „N. W.“ muss es von 
Herder, nicht von Heider heissen. 
Es sind gestorben: Der Pflanzenzeichner Prof. Karl Friedr. 
Schmidt in Berlin. — Dr. Jos. Kleiber, Privatdocent der 
Anatomie in Petersburg. — Der Optiker Bruno Hasert in 
Eisenach. — Der Geograph Prof. Ed. Erslev in Kopenhagen. — 
Der Ornithologe Pater Blasius Hauf zu Mariahof in Steiermark. 
— Der Geograph P.Harme Witkamp zu Amsterdam. — a.o.Prof. 
der Histologie Dr. Dellacher in Innsbruck. — In Prag der 
ehemalige Prof. der Psychiatrie und gewesene Direetor der 
Landes-Irrenanstalt Jacob Fischel. 
Der 20. deutsche Aerztetag findet am 27. und 28. Juni in 
Leipzig statt. 
Litteratur. 
A. Wasmann, S. J., Die zusammengesetzten Nester und ge- 
mischten Colonien der Ameisen. Ein Beitrag zur Biologie, 
Psychologie und Entwicklungsgeschichte der Ameisengesell- 
schaften. Mit 2 Tafeln und 16 Figuren im Texte. VII und 
262 Seiten. Verlag der Aschendorff’schen Buchdruckerei. Mün- 
ster i, W., 1391. — Preis 4 Mark. 
Wir hatten uns im Laufe des letzten Jahrzehnts daran ge- 
wöhnt, stets mit kurzen Unterbrechungen Wasmann's kleinere 
oder grössere Abhandlungen über die mannigfaltigsten Lebens- 
verhältnisse der Ameisen in die Hände zu bekommen und mit 
Interesse von ihnen Kenntniss zu nehmen. Behandeln sie doch 
ein Gebiet aus dem Leben der kleinen Thierwelt, welches den 
