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setzen, wenn jeder mit jedem andern einmal 
zusammengespielt haben soll? Es ergiebt sich sehr 
leicht die folgende Vertheilung: 
T | II | III | IV 
123 AT 5 es 
456 258 267 249 
7189 369 348 357 
Der nächste sieh darbietende Fall verlangt das 
Zusammensein von 5 Reihen zu je Dreien, oder was das- 
selbe ist, von 5 Scattischen mit je 3 Spielern. Denn 
der Fall „4 Tische mit je Dreien* fällt aus, weil jeder 
dann im ganzen mit elf Personen, an jedem "Abend aber 
mit zwei Personen zusammenspielen müsste, was, da 2 in 
11 nicht aa unmöglich ist. 
Bei 5 Tischen mit je 3 Spielern, oder was auf das- 
selbe hinauskommt, bei 15 Pensionats-Damen, die in 5 
Reihen zu je Dreien spazieren gehen sollen, ergeben sich 
(14 dividiert durch 2) 7 Tage. Die Vertheilung ist hier 
sehr viel schwerer, als in den früheren Aufgaben, und 
mancher Leser wird, trotz aller Geduld und trotz aller 
Mühen, keine Lösung selbstständig finden können. Bei 
ordnungsmässigem Probieren al man zwar bald die 
ersten 4 oder 5 Tage erledigen können, dann aber wird 
man finden, dass nun eine richtige Zusammenstellung für 
den sechsten und siebenten Tag nieht mehr möglich ist, 
und die Nothwendigkeit erkennen, wieder von vorn an- 
zufangen. Die nachfolgende Lösung wurde dem Ver- 
fasser von dem jüngst verstorbenen Hamburger Ma- 
thematiker Wilhelm Lazarus mitgetheilt. Eine andere 
Lösung gab Frost im Quaterly-Journal (Cambridge 1870). 
Vertheilung von 15 Scatspielern auf 5 Tische und 
7 Abende, sodass jeder jeden andern einmal 
zum Spielgenossen hat. 
I RE a a a 
1233 1 Aal ı 08, Val 
A; 212 14 259 | ara 
789 N ee 3 7» 
ware | Ss a 1a RE 
sa5s | s910 | ms | sımı3 
V vI vor 
1932 ı6u 181 
265 2 73 2 41 
3 413 3 91 3512 
5 zu 4 812 671 
8 10.14 51015 91113 
Dieses ist eine von vielen Lösungen, die existieren 
werden. Es ist gewiss eine sehr schwere Aufgabe, die 
Anzahl aller wesentlich verschiedenen Lösungen mit der- 
selben Bestimmtheit zu finden, wie dies beim "Problem der 
8 Königinnen (siehe TI) gelang. 
Die Fälle, welche sich auf 7 oder noch mehr Reihen 
zu je Dreien beziehen, sind bisher wohl überhaupt noch 
nieht in Angriff genommen. Wohl aber erkennt man 
bald, dass die Fälle, wo n Reihen, und auch n Personen 
in jeder Reihe verlangt werden, sich methodisch behandeln 
und deshalb leicht lösen lassen, nur muss n eine Prim- 
zahl sein. Ist n = 2 oder — 3, so sind die Lösungen 
fast selbstverständlich und auch oben schon mitgetheilt. 
Bei n — 4 ist die Aufgabe unlösbar, wie man durch 
Probieren leicht erkennt. Bei n —=5 aber lässt sich eine 
Lösung in folgender Weise methodisch erkennen. 
Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 
Für | 
Nr. 31 
den ersten Tag kann man die Zahlen in natürlicher 
Reihenfolge schreiben, also: 
| I | 
3 
6 8 
11 12 13 14 
16 17 18 19 3 
21 22 23 24 
Da nun die Zahlen 1 bis 5 schon in derselben 
Reihe zusammengewesen sind, so müssen sie an jedem 
andern Tage in verschiedenen Reihen stehen, also 
etwa untereinander geschrieben werden. Ebenso ist es 
mit den Zahlen von 5 bis 10 u. s. w. Wenn man daher 
die Zahlen in jeder Reihe nach der Grösse ordnet, so 
muss an allen Tagen die erste Verticalreihe die Zahlen 
von 1 bis 5, die zweite die von 6 bis 10 u. s. w. ent- 
halten. Man wird daher für den zweiten Tag die Zahlen 
wieder in natürlicher Reihenfolge, aber vertical schreiben, 
nämlich so: 
5 10 25 
Für jeden folgenden Tag können nun die Zahlen 
von 1 bis 5 wieder dieselben Plätze einnehmen. Was 
die zweite Verticalreihe angeht, so muss für die vier noch 
fehlenden Tage jede der Zahlen von 6 bis 10, aber mit 
Ausschluss der 6, neben 1 stehen. Wir setzen daher der 
Reihe nach für den dritten bis sechsten Tag die Zahlen 
7 bis 10 neben 1. Wenn wir dann immer in natürlicher 
Reihenfolge nach unten weiterschreiben, so kommt auch 
Jede der Zahlen von 6 bis 10 gerade einmal mit jeder 
der Zahlen von 1 bis 5 zusammen. In die dritte Vertieal- 
reihe des dritten Tages darf nun oben jede der Zahlen 
von 11 bis 15, aber mit Ausschluss der 11 und 12, stehen. 
Wir setzen daher 13 oben hin und schreiben vertical 
nach unten in natürlicher Reihenfolge, auf 15 wieder 11 
folgen lassend. So fortfahrend, erkennt man, dass die 
erste Horizontalreihe des dritten Tages mit der Diagonal- 
reihe des zweiten Tages übereinstimmen muss, woraus 
sich dann die Gruppierung am dritten Tage leicht ergiebt. 
In derselben Weise lässt sich die Vertheilung am vierten 
Tage aus der am dritten Tage ableiten, u. s. w. So er- 
hält man für den dritten bis sechsten Tag: 
IT IV | v | vI 
1 7151925 1 815 1724 | 1 9122023 | 110 14 18 22 
2 8 14 20 21 2 9111825 | 2 10 1316 24 | 2 6.15 19723 
3 91516 22 3 10 12 19 21 36114 1725.|| 357011720724 
410111723 | 4 6132022 | A 71518321 | 4 812 16 25 
5 6121824 |5 71416 23 5 811192 |5 91317 21 
In der That kommt nun in den 6 Zusammenstellungen 
jede Zahl mit jeder andern einmal zusammen im der- 
selben Horizontalreihe vor. Der mathematisch gebildete 
Leser wird auch den inneren Grund dafür erkennen, dass 
die befolgte Methode jede Zahl jeder andern einmal zu- 
dass fünf eine 
ordnen muss. Der Grund besteht darin, 
Primzahl ist. Dieselbe Methode führt daher nicht bei 
n — 4 und — 6, wohl aber bei n — 7 zum Ziel. Es 
bietet gar keine Schwierigkeit, die bei n — 7 resultierenden 
8 (nämlich: 48 dividiert durch 6) Gruppierungen nach der 
obigen Methode hinzuschreiben.*) 
*) Wird fortgesetzt. 
