^^■- Redaktion: 7 Dr. H. Potonie. 



Verlag: Ferd. Dümmlers Verlagsbuchhandlung. Berlin SW. 12, Zimmerstr. 94. 



XL Band. 



Sonntag, den 16. Februar 1896. 



Nr. 7. 



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Inserate : Die viergespaltene Petitzelle 40 .A. Grössere AufträRe ent- 

 sprechenden Rabatt. Beilagen nach Oebereinkunft. Inseratenannshme 

 bei allen Annoncenbureaux wie bei der Expedition. 



Abdrack ist nur mit vollständiger <(aellenansabe gestattet. 



Elementare Ableitung einer genaueren Pendelformel. 



Von Prof. Schubert in Hamburg. 



Die Formel für 

 niatischeu Pendels 



die SchwiiigUDgszeit eines mathe- 



= 7^/ 





WO / die Pendellänge bedeutet, giebt bekanntlieli für die 

 Zeit t zu kleine Werthe, die um so mehr von dem rich- 

 tigen Werthe abweichen, je grösser der halbe Ausschlags 

 winkel a ist 

 Formel : 



Andererseits setzt die Ableitung der genauen 



<: 



r Q 



14- 



^ ) Sin'' 



2-4 

 l-3-5\s 



2-4.6 



sm^ 



sin»^ + 



die Kenntniss der Integralrechnung, insbesondere der 

 elliptischen Integrale, voraus. Der Zweck der folgenden 

 Zeilen ist nun, ohne Benutzung der Differential- und 

 Integralrechnung, nachzuweisen, dass die genaue Schwin- 



gungszeit zwischen den beiden Grenzen 



n^ 



1 -f \ sin^ 

 4 



und rr 1/ — 



/ 



1 



cos ; 



liegt, wo der erstgenannte Ausdruck die untere Grenze, 

 also kleiner als die wahre Schwingungszeit ist, der 

 zweitgenannte Ausdruck die obere Grenze, also grösser als 

 die wahre Schwingungszeit ist. Ist z. B. l so lang, dass 



n^L gerade 1 Secunde ergiebt, so ergeben unsere 



Formeln, dass die genaue Zeit bei einem halben Aus- 

 schlagswinkel 



von «=50 zwischen 1,00047 und 1,00095 Secunden 

 liegt, und 



bei « = 45"' zwischen l,0.3Gr> und 1,0824 Secunden 

 liegt. 



Die umstehende Figur verdeutliche die Schwingung 

 der Pendellänge OA = l über die vertikale Lage 

 OE hinaus bis OB, so dass 4lA0E^=E0B gleich dem 

 halben Ausschlagswinkel o ist. OE schneide AB in C. 

 Ist /'' ein beliebiger Punkt des von dem schweren 

 Punkte beschriebenen Bogens AEß, so hat derselbe in F 

 nach den Fallgesetzen dieselbe Geschwindigkeit v, wie 

 ein Punkt in G hat, wenn er von C aus gefallen ist, wo 

 G der Schnitt von CE mit der Parallelen zu AC durch 

 F ist. Demnach ist die Geschwindigkeit des pendelnden 

 Punktes in F: 



1. 



v = i2g{2r — x), 



wo CD = DE = r, GE = x gesetzt ist. Mit der Ge- 

 schwindigkeit V werde das Bogenelement FF-^ in der Zeit t 

 durchlaufen. Dann ist 



FF^ 



t2g{2r 



■X) 



Zieht man nun F^Fo senkrecht zu FG, so erhält man 

 ein unendlich kleines" Dreieck FF^F^, das ähnlich EOG 

 ist, woraus folgt: 



3. FFi : F^F^ = l:FG = l: ^{2l-x). 



Andererseits ziehe man durch F^ die Parallele zu FG, die 

 den um D mit r gezogenen Kreis in H^ trifft, während FG 

 diesen Kreis in H schneidet, ferner ziehe man HiH^ 

 senkrecht zu FG. Dann erhält man ein zweites unend- 

 lich kleines Dreieck HH1H2, das HBG ähnlich ist, woraus 

 folgt: 



4. H.H^ : HH, = HG:r= ]/^{2r — x) : r. 



Multiplicirt man nun 3. mit 4., so kommt, da HiH^^F^F,^ 

 ist, die Proportion: 



5. 



FFy ■ HH^ =iyj2r-x: rS2l — x. 



Den aus 5. folgenden Werth von FFy setze man in 2. ein. 

 Dann kommt: 



