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Naturwissenschaftliche Wochcnschnil. 



Xr. Nr. 7. 



HH^ . l 



wofür auch ^eschriebeu werden kanu: 



s-, so wird der Werth der Wurzel vergTössert, also 



16 ^' 



der Bruch verkleinert. 



Da nun 1 — 



^ 2r.yi — 



Quadrat von 1 — .-, ist, so muss sein: 

 4/ 



X 



21 



16P '^^^ 



X 



21 



eine Formel, die unbeschränkt richtig- ist. Aus derselben er- 

 giebt sich, daa; = Z — ?cos'^^2Zsiu2 ^ ist, die ebenfalls 

 genaue Formel: 

 7. 



^n- 



EH^ 



2r 



cos 2^ 



wo iy der veränderliche Winkel FOE ist. Bewegt sich 

 nun der pendelnde Punkt von A über E nach B, so be- 

 schreibt der Punkt H die 

 Peripherie des um D mit 

 r beschriebenen Kreises. 

 Daher ist die gesuchte 

 Schwiugungszeit 



lA 



X 



21 



Nun ist 



X 

 X 



AI 



1 — 



X 



1 



x^ 



welchen Bruch wir verkleinern, wenn wir iui Neuner 



16 P 



addiren. Also ist um so mehr: 



10. 



1 



t=2T 



■^ 2r cos , 



VI-2 



Hieraus erhält man eine 

 untere bezw. obere Grenze 

 für t, wenn man für i> 

 den kleinsten Werth 

 bezw. den grössten Werth 

 a einsetzt. Da nun 



IIB, 

 2r 

 ist, so erhält man: 



9. 71 j/ 



■^ im-^ 2rn 



li~2V~^'YF^'' 



f 



X 



21 



1 + 



X 



4l 



Wegen 10. folgt aus 6. 



oder 

 11. f. 



i- 



l HH, 



ü 2r 



1 + 



Al. 



+ 



2li 2r-il\ 



— <:i< 



»i/i.-L 



cos 



Hiermit ist nicht nur die gewöhnliche Pendclformel 

 elementar bewiesen, sondern es ist auch erkannt, dass 

 die wahre Schwingungszeit grösser ist als die aus der 

 gewöhnlichen Pendelformel folgende Zeit, aber kleiner 

 als die Zeit, die man erhält, wenn man diese Zeit durch 



cos -^ dividirt, wo ^^ den vierten Theil des ganzen 



Schwingungswinkels bedeutet. 



Um aus unserer Betrachtung eine noch bessere untere 



Grenze als nV — ist, abzuleiten, gehen wir von dem 

 auf der rechten Seite der Formel 6. stehenden Factor 



1 



/ 



1-^ 



21 



aus, M'obei wir voraussetzen dürfen, dass 0<a'<2? ist. 

 Addiren wir zu dem Radikanden den positiven Bruch 



Nun ist aber nach 

 dem Satze von den sta- 

 tischen Momenten be- 

 züglich der Tangente L 

 im Punkte E 



12. 2HHyX = 2r7fr = 2r"'>T, 



ZI ff 



während, wie schon oben benutzt ist, ^ ^ t"^^^ ^^^' 

 Setzt man diese Resultate in 11. ein, so erhält man: 



/> /- 



oder 



13. f. 



Hieraus folgt, da r = 





l — l cos or , ■ o « • ... 

 : 2 = Z-sni2— ist, 



also überhaupt 



4 '"^' 2 



15. ^|/}[l + |sin^|]<^<^l/f-^ 



cos 2 



was bewiesen werden sollte. 



