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Naturwissenscliaftliclie Wochenschvift. 



XI. Nr. 12. 



sind, so sind sie es auch in den inneren Organen und 

 niclit minder in den Instinlvten, beziehungsweise in den 

 höheren 8eelenanlagen. Wir wissen, dass die Abstufun- 

 gen einer Gesetzmässiglieit folgen müssen. Kein Forscher 

 wird sich dabei beruhigen, dass es Individuen giebt, die 

 etwas grösser sind als der Durchschnitt und solche, die 

 unter dem Durchschnitt bleiben, oder dass manche Indi- 

 viduen eine bessere Sehscliärfe besitzen als andere, oder 

 dass beim Menschen die Befähigungen ausserordentlich 

 verschieden sind. Das denlvcnde Geschöpf will wissen, 

 wie die Grösseustufeu sich innerhalb der Grenzen des 

 Abänderungsspielraums vertheilen, wie die Seh- 

 schärfen und die geistigen Fähigkeiten sich hinsichtlich 

 der Häufigkeit ihres Vorkommens verhalten. 



Den Biologen ist es bis jetzt nicht gelungen und 

 wird es wegen der mikroskopischen Kleinheit der For- 

 schungsgegenstände auch in Zukunft nicht so bald ge- 

 lingen, die Gesetze abzuleiten, nach welchen sich die 

 individuelle Abänderung vollzieht, und darum können jene 

 auch über die Vertheilung der individuellen Grade keinen 

 Aufschluss geben. Der letztere Punkt ist jedoch für 

 einen Forseher anderer Art, für den Mathematiker, nicht 

 unzugänglich. Auf alle Fälle hängt die Beschaft'enheit 

 der einzelnen Organe sowohl, als der ganzen Individuen 

 von der Art und Weise ab, wie die kleinsten Bestand- 

 theile derselben combinirt sind. Dem Mathematiker wird 

 daher die Vermuthung nicht ferne liegen, dass die Ge- 

 setze der Combi nationsl ehre, welche unter anderem 

 auch über die relative Häufigkeit jeder einzelnen Com- 

 bination Aufschluss geben, hier Geltung haben dürften, 

 und zwar ganz unabhängig von der Vorstellung, die man 

 sich von der Natur der kleinsten Theile selbst bilden 

 mag. Es dürfte sich daher lohnen, einen Versuch anzu- 

 stellen, oh die sogenannte Gauss'sche;Wahrscheiulichkeits- 

 formel mit den beobachteten Thatsachen über die Ver- 

 theilung individueller Fälle im Einklang steht und wenn 

 ja, ob sich durch ihre Anwendung einige Einblicke ge- 

 winnen lassen. 



Die Gauss'sche Wahrscheinlichkeitsformel. 

 Das Gesetz, nach welchem sich die Häufigkeit des Vor- 

 kommens der einzelnen Fälle regelt, beruht im Wesent- 

 lichen darauf, dass diese um so seltener werden, je weiter 

 sie sich von der mittleren Beschaffenheit entfernen, und 

 dass demnach die mittlere Beschaftenheit zugleich die am 

 häufigsten vorkommende ist. Die von Gauss herrührende 

 Formel, deren theoretische Ableitung wir hier übergehen 

 müssen, lautet: 



In dieser Formel bezeichnet x den Betrag der Ab- 

 weichung vom Mittel, y die verhältnissmässige Häufigkeit 



des Vorkommens dieser Abwei- 

 chung (das ist die „Wahrschein- 

 lichkeit"), 1' die Häufigkeit des 

 mittleren Werthes, e die Basis 

 der natürlichen Logarithmen, 

 h den sog. Präcisions - Coeffi- 

 cienten, welcher bestimmt, ob 



A-x" 



Fig. 1. 



die Häufigkeit mit der Entfer- 

 nung vom Mittel rascher oder 



Die 



G:iuss*8ulie. Wabrscheiiilich- 

 keits-Curve. 



langsamer abnimmt. Die Grösse 

 e ist also eine ein- für alle- 

 mal feststehende Constante, Y 

 und h, sind Constanten, die für die verschiedenen An- 

 wendungen der Formel wechseln können. 



Man erkennt leicht, dass nach dieser Formel im All- 

 gemeinen mit wachsender Entfernung vom Mittel die 

 Häufigkeit des Vorkommens immer rascher abnehmen 

 muss. Noch deutlicher wird dies, wenn man die Formel 

 so schreibt: 



Im Nenner dieses Bruches steht eine mit dem Wachsen 

 von X in beschleunigtem Maasse zunehmende Grösse, 

 welche den Bruch selbst, d. h. den Werth von y, immer 

 kleiner macht. Durch Beispiele von Zinseszinsrechnungen 

 und durch die bekannte Anekdote vom Schachbrett mit 

 den zu verdoppelnden Getreidekörnern sind aucli „nicht- 

 mathematische" Kreise in das Anschwellen von Potenzen 

 eingeweiht: hier haben wir aber nicht eine einfache Po- 

 tcnzirnng von x, sondern das potenzirte x selbst bestimmt 

 den Exponenten einer zu potenzirenden Grösse. Darnach 

 lässt sich ermessen, mit welchem raschem Tempo die 

 Häufigkeit bei wachsender Entfernung vom Mittel ab- 

 nehmen muss. 



Die Wahrscheinlichkeitscurve. Das Gesetz 

 der Wahrseheinlichkeitsformel lässt sich durch eine gra- 

 phische Darstellung anschaulich machen. Trägt man die 

 Abweichungen vom Mittel auf 

 der Abscissenaxe beiderseits 

 vom Nullpunkte auf, die zuge- 

 hörigen Werthe von y als (Jrdi- 

 naten, so erhält man die soge- 

 nannte Wahrscheinlichkeitscurve 

 (Fig. 1). Dieselbe besitzt für 

 den mittleren Werth ein Maxi- 

 mum, einen Gipfel, von dem an 

 die beiden s_ymmetrischen Arme 

 sich schräg nach unten wenden 

 und, immer mehr nach aussen 

 biegend, asymptotisch neben 

 der Abscissenaxe herlaufen. Die 

 Constante Y ist maassgebend 

 dafür, ob sämmtliche Ordinaten 

 in der Zeichnung nach einem 



grösser oder kleiner werden sollen, wogegen die Con- 

 stante Ji den Charakter der Curve in der Hinsicht beein- 

 flusst, ob die Krümmung am Gipfel und beim Auswärts- 

 kehren der beiden Arme mehr oder weniger scharf sein 

 soll. In Fig. 2 ist auf der linken Seite der Mittellinie 

 die Gestaltsveränderung der Curve für verschiedene 

 Werthe der Constanten I" und auf der rechten Seite für 

 verschiedene Werthe des Cocfficienten /; versinnlicht. Die 



1. 



Fig. 2. 



W.ihrscheinlichlii'itscurveii, links 



für verschiedene \\'erthe der Con- 



st!V[iten Y, rechts fiir verschiedene 



Werthe des Cocfficienten h, 



gleichen Verhältnisse 



stärker ausgezogene Curve ist die nämliche 



wie in Fig. 



Die von Beobachtungen 



abgeleitete 



Häufig- 



keitscurve. Zeichnet man eine Curve für messbare oder 

 sonst genau feststellbare Eigenthümlichkeiten einer Anzahl 

 von Menschen, z. B. für die Körpergrösse Wehrpflichtiger (in 

 dem man in dieser An- 

 wendung dieGrössen als 

 Abscissen, die Häufig- 

 keit des Vorkommens 

 als Ordinaten aufträgt), 

 so erhält man Curven, 

 welche der Wahr- 

 scheinlichkeitscurve 

 sehr ähnlich sehen, 

 und zwar um so mehr, 

 je grösser die Zahl ^'=- ^• 



(\pv '■Rpnhüplitnno-Pii iet Häufigkeitscurve für eine hegren/.te Ziilil he- 

 aei J-ieOOacniUngen ist. obachteter Einzelfalle. 



Nur eine wesentliche 



Abweichung bleibt für jede noch so grosse, aber immerbin 

 begrenzte Zahl bestehen: die Curve hat die Abscissenaxe 

 nicht zur Asymptote, sondern läuft bei den Grenzpunkten 

 der Beobachtungen in jene ein, sodass eine geschlossene 

 Figur entsteht. Nebensächlich ist die Verlegung des 

 Nullpunktes der Abscissen aus dem Innern der Figur 

 uafh ausserhalb, wie dies in Fig. ?> dargestellt ist, als 



