XI. Nr. 12. 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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eine Folge davon, dass wir bei unseren Untersuchungen 

 nicht die Abweichungen von einem Mittel, sondern den 

 Betrag von einem Punkte an zu erheben pflegen, der lauter 

 positive Werthe für x ergiebt. Wenn wir also die 

 Gauss'sclie Formel auf die Häufigkeit individueller Fälle 

 in der Biologie anwenden wollen, wozu uns die Aehnlicb- 

 keit der Curven berechtigt, so müssen wir zwei Aende- 

 rungen eintreten lassen, nämlich 1. die ausserordentlich 

 kleinen Ordiuaten der Gauss'schen Curve bei ihrer An- 

 näherung an die Abscissenaxe als praktisch gleich Null 

 ansehen, und 2. eine Coordinateuverschiebung vornehmen, 

 indem wir in die Formel statt x den Werth von x — n 

 einsetzen, worin a den Abstand des jetzigen Nullpunktes 

 vom früheren, also in Fig. 3 die Strecke PM Ijedeutet. 

 Die Wabrscheinlichkeitscurve passt alsdann nicht bloss 

 auf Körpergrüssen, sondern auch auf Brustumfänge, Kopf- 

 Indices und andere vorkommende Werthe. Vergegen- 

 wärtigen wir uns, dass die geistige Begabung eines 

 Individuums von der Beschatfenheit seines Gehirnes ab- 

 hängt, welches aus einer Ungeheuern Zahl einzelner, der 

 Combination unterworfener Elemente besteht, so wird 

 wenig dagegen einzuwenden sein, dass wir aucli die Ver- 

 theilung der menschlichen Begabungen dem Gauss'schen 

 Gesetze folgen lassen. Zum Ueberflusse hat Francis 

 Galton den Nachweis geführt, dass beispielsweise die 

 Abstufung der Früfuugsnoten bei den berühmten Mathe- 

 matik-Prüfungen der Universität Cambridge dem fraglichen 

 Gesetze folgt, und er hat noch eine grosse Zahl von Er- 

 wägungen, gestützt auf Erfahrungsthatsachen, beigefügt, 

 wodurch die Richtigkeit der Annahme mindestens sehr 

 annehmbar gemacht wird. 



In Fig. 3 bedeutet U die untere Grenze der indivi- 

 duellen Variationen, die obere Grenze derselben, also 

 UO den von der natürlichen Auslese verschonten Ab- 

 änderungsspielraum, von dem in dieser Abhandlung 

 die Rede sein wird. PU bedeutet allgemein den ge- 

 ringsten Stärkegrad, der in der Beobachtuugsreihe vor- 

 kommt, PO den höchsten Stärkegrad, Pil/den mittleren 

 Stärkegrad. Der am häufigsten vorkommende Stärke- 

 grad PH fällt wegen der symmetrischen Gestalt der 

 Curve mit dem mittleren Stärkegrad Pil/ zusammen, eben- 

 so der durchschnittliche Stärkegrad PD, welcher dem 

 arithmetischen Mittel aus sämmtlichen Beobachtungen ent- 

 spricht und in der Figur dadurch ausgedrückt ist, dass 

 die über dem Punkte 1) errichtete Ordinate die von der 

 Curve und der Abscissenaxe eingeschlossene Fläche 

 halbirt. Mit anderen Worten: die mittlere, die häu- 

 figste und die durchschnittliche Stärke decken sich 

 in dem vorliegenden Falle. 



Trägt man, wie es in der Regel geschieht, als Ordi- 

 uaten für gleiche Abscissenintervalle nicht die unmittelbar 

 beobachteten absoluten Häufigkeitsziffern auf, sondern 

 die aus denselben berechneten pro centualen, so ent- 

 spricht die Summe aller Ordinaten, welche in der Zeich- 

 nung durch die Gesammtfläche der geschlossenen Figur 

 versinnlicht wird, der Zahl 100. Da dies für jede pro- 

 centuale Darstellung zutreffen muss, werden wir zweck- 

 mässig der angegebenen Regel folgen und uns stets 

 procentuale Darstellungen zu Grunde gelegt 

 denken, um den Vortheil zu haben, dass die 

 Fläche bei allen Gestaltsveränderuugen der Curve die 

 nämliche bleibt: es muss dann an einer Stelle 

 immer soviel Flächenrauni hinzutreten, als auf einer 

 anderen wegfällt. 



Asj'mmetrische Häufigkeitscurven. Die empi- 

 rische Häufigkeitscurve zeigt im Allgemeinen eine symme- 

 trische Gestalt, wie dies der Gauss'schen Formel ent- 

 spricht. Galton hat überall, wo er die Formel anwandte, 

 auf die Symmetrie der Curvenäste hingewiesen und aus 



der Thatsache bestimmte Folgerungen gezogen. Es ist 

 mir jedoch bei meinen Untersuchungen bisweilen be- 

 gegnet, dass die Vertheilung der Fälle über Mittel eine 

 andere war, als unter Mittel, somit die Häufigkeitscurve 

 nicht symmetrisch ausfiel, und zwar ohne dass diese Un- 

 regelmässigkeit Bcobachtungsfehlern zugeschrieben werden 

 konnte. So bildet in meinem Buche über die „Gesell- 

 schaftsordnung" die Einkommenscurve, die auch eine em- 

 pirische „Häufigkeitscurve" ist, augenscheinlich auf der 

 oberen Seite eine weiter ausgezogene Spitze, als auf der 

 unteren, wo die negativen Einkommen nothgedrungen 

 sehr bald bei ihrem grösstmöglichen Betrag ankommen. 

 Es ist möglich, aber nicht bestimmt zu sagen, dass auch 

 die Begabungscurve über Mittel weiter ausgestreckt ist, 

 als unter Mittel, weil hier sehr verschieden wirkende 

 Kräfte mitspielen. Diese Erwägungen haben mich dazu 

 veranlasst, die Möglichkeit des Vorkommens asymme- 

 trischer Wahrscheinlichkeitseurven in Betracht zu ziehen, 

 und ich bin zu folgenden Erwägungen gelangt: Wird in 

 der Gauss'schen Formel die Grösse Y oder der Coef- 

 fieient li, oder werden beide in irgend einer Weise ab- 

 hängig von ./■, dann entsteht eine asymmetrische Curve. 

 Y und // können aber auf verschiedene Weise von x ab- 

 hängig werden. Eimnrd dadurch, dass die Fruchtbar- 

 keit sich mit x ändert, dass also die Vermehrung der 

 Individuen auf der einen 

 Seite des mittleren 

 Werfhes grösser ist, als 

 auf der andern. Dann 

 muss die Curve von 

 Generation zu Genera- 

 tion auf der einen Seite 

 an- und auf der andern •■ 

 abschwellen, sodass sie 

 ihre Symmetrie verliert. 

 Der endlich erreichte 

 Beharrungszustand muss eine asymmetrische Curve er- 

 geben. Eine asymmetrische Curve wird ferner entstehen, 

 wenn aus irgend welchen Ursachen Keimesvariationen 

 in grösserer Zahl und in stärkerer Abweichung nach der 

 einen, als nach der andern Seite entstehen, was Weis- 

 m a n n mit dem Namen „ G e r m i n a 1 - S e 1 e k t i o n " bezeichnet 

 und in einer kürzlich erschienenen Schrift näher behandelt 

 hat. Diese beiden Fälle sind Spezialfälle, welche ich 

 zunächst übergehen möchte, um sie bei späterer Gelegen- 

 für sich zu erörtern. Ein dritter Fall ist der, dass die 

 Plus- und Minus- Varianten zwar gleich häufig und in 

 gleichem Abstände vorkommen, auch die Fruchtbarkeit 

 die nämliche ist, jedoch die natürliche Auslese an 

 der oberen und an der unteren Grenze des Abänderuugs- 

 spielraumes verschiedenartig eingreift. Diesen am 

 häufigsten vorkommenden Fall müssen wir vor allem 

 betrachten, ehe wir daran denken können, auf jene 

 verwickeiteren Umstände einzugehen. In der vorstehen- 

 den Fig. 4 ist eine solche asymmetrische Curve dar- 

 gestellt. Bei derselben ist der verschonte Abänderungs- 

 spielraum UO von gleicher Ausdehnung angenommen, 

 wie oben in Fig. 3. Der Scheitel der Curve ist jedoch 

 nach links gerückt. Der Punkt M, d. h. der mittlere 

 Grad zwischen den beiden Grenzen behauptet noch 

 seinen früheren Platz, die grösste Häufigkeit H fällt 

 jedoch nicht mehr mit ihm zusammen. Ebenso über- 

 zeugt man sich schon durch das Augenmaass, dass 

 die durchschnittliche Stärke, d. h. der Punkt D, dessen 

 Ordinate die Fläche der Figur halbirt, weder mit M, noch 

 mit 7/ zusammenfallen kann, sondern zwischen beiden 

 anzubringen ist. Für diejenigen Beobachtungsreihen, 

 auf welche diese Curve passt, gelten daher folgende 

 Sätze: Häufen sich die Fälle in der unteren Hälfte des 



ff 7) M 

 Fig. 4. 



Asymmetrische Häufigkeitscurve. 



