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Naturwissenschaftliche Wocheuschriit. 



XI. Nr. 31. 



Für 71=1 lautet die Antwort offenbar: auf j)^ Arten. 



Für n = 2 leitet Lucas*) die Lösung auf folg-endem 

 Wege ab: Um die Anzahl der den Bedingungen des 

 Problems entsprechenden Aufstellungen 7a\ finden, hat man 

 von der Anzahl der überhaupt müglicheu Stellungen die 

 Anzahl der verl)otenen abzuziehen, d. h. der Aufstellungen, 

 bei denen sich beide Damen angreifen. Die Anzahl der 

 möglichen Aufstellungen von zwei Steinen auf einem 

 jj--feldrigeu Brett ist 



2)~ 2 



die Anzahl der Aufstellungen, bei denen sich die beiden 

 Damen angreifen, ist nun offenbar gleich der halben An- 

 zahl der Züge, die eine Dame überhaupt auf dem Brett 

 ausführen kann; denn wenn sich zwei Damen angreifen, 

 so kann jede auf das Feld der anderen ziehen, und umge- 

 kehrt, wenn zwei Damen so stehen, dass jede auf das 

 Feld der andern ziehen kann, so greifen sie sich eben 

 an. Lucas berechnet die Anzahl der Züge, die eine 

 Dame ausführen kann, indem er die Bewegungsmöglich- 

 keit der Dame aus der des Thurms und der des Läufers 

 zusammensetzt; er findet so als Anzahl der möglichen 

 Züge einer Dame 



Also ist die Anzahl der verbotenen Aufstellungen 

 i-p(p-l) (5^.-1); 



die Anzahl der Aufstellungen von zwei Damen, die sich 

 nicht angreifen, ist also 



i_^j2 (p2 _ 1) ._ i- p ip - 1) (5 j; - 1) 



= -g-i^ (J' — 1) (3iJ' + 3iJ - 10p -h 2) 



1> {P - 1) iP - 2) (3p - 1). 



Mit Rücksicht auf den Zweck dieses Aufsatzes, die 

 Fortfuhrung der Untersuchung über den Fall n = 2 hin- 

 aus, soll zunächst dies Eesultat auf einem anderen Wege 

 abgeleitet werden. Denken wir uns das Schachbrett in 

 concentrische Ränder eingetheilt; dann stehen, wie man 

 sich leicht üljcrzeugt, der Dame auf allen Feldern eines 

 und desselben Randes gleich viele Züge zur Verfügung. 



Für gerades y giebt es ^Ränder; der äusserste Rand 



hat 4:p — 4 Felder; jeder folgende hat 8 Felder weniger 

 als der vorhergehende; der r te Rand enthält also 



4j9 -f- 4 — 8 V Felder, der innerste, ~ te, folglich 4 Felder. 



Auf dem äussersten Rande greift die Dame 3yj — 3 Fel- 

 der an, nämlich p — 1 vertical als Thurm, p — 1 hori- 

 zontal als Thurm und p — 1 diagonal als Läufer; auf 

 jedem Rande beherrscht sie 2 Felder mehr als auf dem 

 vorhergehenden, auf dem t ten Rande also ip — b-\-2v 

 Felder. Die Anzahl der Züge, die die Dame überhaupt 

 ausführen kann, ist demnach 



*) Theorie des noinbres, I, 1891, S. 1)8; recreatious jnathe- 

 matiqiK's, IV, 18'J-i, S. V6% 



]g (4^; + 4 - 8r) (3y^ - 5 + 2r) 



v = l 



p 



^^{{■lp+^)m>—b) + {—2Ap+AQ^^p-^^)v-l&v''^] 



(12^2 _ 8^3 _ 20) . 



+ (- 16jJ 

 2 



-p i'-'^r 



= ^p{öp'- 



2 , 

 -=-.^Pip- 



-^48) 



(jp - 15 



2 l 2 ^ 



16 



+ l]{p-hl) 



3jj3 + Sp 4- 18 — p" — -dp —2) 



-dp + l) 



1)(5J3 



1). 



Für ungerades p giebt es - ^^ — Ränder; auch hier hat 



der äusserste 4« — 4 Felder, und jeder folgende 8 Felder 

 weniger als der vorhergehende, der rte also 4« + 4 — 8v 



p — 1 



Felder; dies gilt aber nur für r = 1, 2 . 

 der i — ^ — 



denn 



»4-1 

 te Rand hat 8 Felder, der innerste, ^—^ — te 



jedoch 1 Feld, also nur 7 Felder weniger; er ist bei 

 der Summation nicht einzuschliessen, sondern besonders 

 zu berücksichtigen. Für die Zügezahl auf dem v ten 

 Rand gilt dasselbe wie bei geradem ;»; die Anzahl der 

 Züge, die eine Dame auf dem ^^"-feldrigen Brett (j; unge- 

 rade) ausführen kann, ist also, da sie vom Mittelfeld aus 

 4^; — 4 Felder beherrscht, 

 p-i 



2 



4i^ — 4 + 2 {ip + 4 - 8r) {3p - 5 + 2r) 



v = l 



= 4j, _ 4 + il2p' — 8p — 20) ^-i 



(— 162J + 48) 



^ ip - 1) {dp' - 6p — 15 - 3p'-j-6p +9 -p~—p + 6) 

 |-Q;-l)(5/-'-7;) 



3 



p{p-l){bp~l). 



Also ist in beiden Fällen die Anzahl der verbotenen 



Stellungen 



±pip-l)(bp-l). 



Dies ist das von Lucas auf anderem Wege erhaltene 

 Resultat; das hier eingeschlagene Verfahren ist für »1=^2 

 nicht das einfachste, aber es ist das einzige, das nicht 

 auf diesen Fall zugeschnitten, sondern der Verallge- 



meinerung fähig ist. 



Will man die Untersuchung über den Fall »* = 2 

 hinaus fortsetzen, so stösst man zunächst auf erhebliche 

 Schwierigkeiten, indem die verbotenen Stellungen nicht 

 mehr unter einem Collectivbegriff zusammengefasst werden 

 können. Es soll im Folgenden die Lösung der Aufgabe 



