XI. Nr. 31. 



Naturwissenscliaftliche Wocbenschritt. 



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gegeben werden, die Anzahl der Aufstellungen von drei 

 sich nicht angreifenden Damen auf dem jj^-feldrigen Brett 

 als explicite Function von p darzustellen. 



Drei Damen lassen sich auf dem p"-feldrigen Brett 

 überhaupt auf 



Arten aufstellen. Hiervon ist die Anzahl der verbotenen 

 Stellungen zu subtrahiren. Diese zerfallen in drei Klassen : 



1. Es greifen sich zvpei Damen an, aber keine die 

 die dritte. 



2. Eine Dame greift die zwei andern an, diese ein- 

 ander aber njcht. j ; 



3. Jede Dame greift die beiden andern an. 



Wenn F die Anzahl der Stellungen bezeichnet, in 

 denen keine Dame eine ändere angreift, und die erste, 

 zweite, dritte Klasse Ui, U^, U^ Stellungen umfasst, ist 



(1) P+ U, -+- U, + U, = ^iß ip' - 1) iir - 2). 



Wenn es gelingt, 'drei weitere unabhängige lineare 

 Gleichungen für F, U^, U2, U^ aufzustellen, lässt sich P 

 daraus berechnen. 



Zwei sich nicht angreifende, Damen lassen »sich, wie 

 oben angegeben wurde, auf 



Arten aufstellen. Wenn man auf einem beliebigen der 

 p^ — 2 freien Felder eine dritte Dame aufstellt, so sind 

 unter den 



■^'f(P--\) (^-- 2) (3p - 1) ip^ - 2) 



auf diese Weise entstehenden Stellungen enthalten: 



1. Die P Stellungen der gesuchten Art, und zwar 

 jede dreimal, da ja jede Dame als dritte betrachtet 

 werden kann. 



2. Die verbotenen Stellungen der ersten Klasse, und 

 zwar jede zweimal, da jede der beiden sich angreifenden 

 Damen als dritte gelten kann. 



3. Die verbotenen Stellungen der zweiten Klasse, 

 und zwar einmal. 



Also haben' wir die Gleichung 



(2) 



3P + 2f/i + l^2 

 = 4-1' (P - 1) (P -2)(3p - 1) {p^- 2). 



Eine dritte Gleichung erhalten wir durch Betrachtung 

 der „Doppelzüge", d. h. der Möglichkeiten, in zwei Zügen 

 von irgend einem Felde des ^/--feldrigen Schachbretts aus 

 auf irgend ein anderes zu gelangen. Wenn mau eine 

 Dame einen Doppelzug ausführen lässt, so liegen die 

 drei von ihr eingenommenen Felder so, dass das eine 

 die zwei anderen angreift; diese greifen sich an oder 

 nicht ; alle Fälle, in denen sie sich angreifen, sind sechs- 

 fach gerechnet, da jedes der drei Felder als erstes be- 

 trachtet werden und überdies der Doppelzug von dem 

 Anfangsfelde aus in zweifacher Weise ausgeführt werden 

 kann; alle Fälle, in denen sich das Anfangs- und End- 

 feld- nicht angreifen, sind offenbar doppelt gerechnet. 

 Die halbe Anzahl der Doppelzüge ist also ^ U^ -+■ 3 [^3. 

 Um nun die Anzahl der Doppelzüge auf dem p^.feldngen 

 Brett durch p auszudrücken, sind zwei Fälle zu unter- 

 scheiden, je nachdem p gerade oder ungerade ist. 



P 

 Wenn p gerade ist, theilen wir die Doppelzüge in ^ 



Arten ein, je nachdem das von der Dame nach dem 

 ersten Zuge eingenommene Feld auf dem ersten, zweiten, 



. . ., ^ten Rande liegt. Wenn es eines der 4^3 + 4 — Sv 



Felder des rten Randes ist, kann der erste Zug von 

 jedem der Zp — 5 + 2v Felder ausgehen, die das Feld 

 angreift; für den zweiten Zug stehen nur ?>p — 6-|-2v 

 Felder zur Verfügung, da das Feld, auf dem die Dame 

 ursprünglich stand, nicht wieder betreten werden darf; 

 also ist 



f/3 + 3C/3 



= 4 S ^^V - 5 + 2r) (37> — 6 + 2 r) (\p + 4 - S v) 



2 

 = 2 (^^' — 5 + 2i.) (3^; - 6 + 2 r) {^p + 2 — 4v) 



v=i 



= 2^^^^-^^^^^'-^)(''''"^'^^ 



v=l 



-^-(2 {%p — 6) (2i; + 2) -H 2 (3/j — h){^p -\- 2) 



— 4 (3i) — 5) (3i3 — 6)) r 

 + (_ 8(3y* — 5) — 8(3j3 — 6) + 4(2^j -+- 2)) t'^ — IGv^ | 



(3i3-5)(3i;-6)(22) + 2).|- 



+ (—12r + 112^ — 164) 



■ ^/jüT O L^ i j l»ihi« a'. 



+ (- 40j; + 96) 



■16 



f(«-'/ 



(3'') ?72 + 3 1\ = :j^/3 (672?» — ISO^J' + ^^^V — 36). 



(2) + (3'i) — 2-(l) giebt 



3P-i-2[/i +^7. +C/, + 3(/3 — 2P - 2[/i — 2?72-2(73 



= T^P {QP^ — 20y -+- 6iJ« + 36p- - 36i> -+- 8 -1- 67p» 



_ 180^/- + 146 j; - 36 — ip'= -+■ VZp"" — Sp) 



= 4p (2p^ — 20p^ + Sbp' — 144p- + 102p — 28). 



P ist also durch U3 ausgedrückt und es ist zur Berech- 

 nung von P nur (3 zu bestimmen. 



Ehe wir dazu übergehen, wollen wir die Berechnung 

 der Zahl der Doppelzüge für ungerades p nachtragen. 



p — 1 

 Es ist hier die Summe von v^l bis r = 5 — zu er- 

 strecken und das dem Mittelfeld entsprechende Glied hin- 

 ;ufügen. 



zuzufügen. Also 



^2 ■ 



p-i 

 2 



= 2 (3p — 5 + 2i>) '{3p — 6 -f- 2v) (2p -t- 2 — 8 r) 



■Y^4p-4)(4p-5) 



