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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



XI. Nr. 31 



= (3i;-5)(3^-6)(2i^ + 2) 



p-1 



p—1 p+l 



+ (— I2p" + 112jj — 164) — 



p — l p-hl 

 9G) — 



Q;_l)3 Qj+1)2 



+ (— 40j) 



+ (2p - 2) {4p — 5) 

 1 



6 



16 



(Sb) U^+S f/s = ^2 (P — 1) (67iJ' — 113iJ- 

 2-(l) giebt 



33iJ — 3). 



(2) + (3") 

 P+C/3 



= ^(P-'^){&P'-Up' 

 — U3p"^ + 33p- 



- Sjj3 + 28p2 — 8p + 67 /;3 

 -3 — 4pB _ 4p4 _,_ 8p3 _^ g^2) 



12 



^ip—1) (2/j5 — 18/ + 67p3 — 77 p- + 25p — 3). 



C/g lässt sich nun durch geometrische Erwägungen 

 auf folgende Weise berechnen: U^ ist die Anzahl der Auf- 

 stellungen^ bei denen sich je zwei der drei Daraen an- 

 greifen. 



Dies tritt in folgenden vier Fällen ein: 



1 I 



I I 



1 I 



I I 



I .1 



Fig. 1. 



Fig. 2. 



l . ) ., I 

 Fig. 3. 



I ) I 

 Fig. 4. 



1. Die drei von den Damen eingenommenen Felder 

 liegen auf derselben Horizontalen oder Verticalen (Fig. 1). 



2. Die drei Felder liegen auf derselben Diagonalen, 

 wobei unter „Diagonale" auch jede Parallele zu einer der 

 beiden Hauptdiagonalen verstanden wird (Fig. 2). 



3. Die drei Felder bilden ein rechtwinklig-gleich- 

 schenkliges Dreieck', dessen Hypotenuse auf einer Dia- 

 gonalen liegt (Fig. 3). 



4. Die drei Felder bilden ein rechtwinklig-gleich- 

 schenkliges Dreieck, dessen Hypotenuse auf einer Hori- 

 zontalen oder Verticalen liegt (Fig. 4). 



Es möge F, , ¥„, 1^3, V^ Stellungen der vier Klassen 

 geben; dann ist 



U, = V,+V,- 



V. 



1. Da es p Horizontal- und p Verticalreihen giebt, 

 deren jede p Felder hat, und da auf jeder drei Damen sich 

 auf 



(|) = -^P(2'-l)(i'-2) 

 Arten aufstellen lassen, ist 



f'i = 2p.-i-p(p-l)(p-2) 



2. In der Richtung von links oben nach rechts unten 

 und von links unten nach rechts oben giebt es je 2/) — 1 

 Diagonalen, deren eine p und je zwei p — 1, p — 2, . . ., 

 2, 1 Felder enthalten. Auf einer Diagonale von v Feldern 

 lassen sich drei Damen auf 



(shi^^^-'^^"-^) 



Arten aufstellen; also ist 



^'2 =- 2 A p {p - 1) (;; _ 2)-^4 -^^'^viv 



v=l 



9 P 1 



1 



^p{p—\){p -2)- 



l)(v-2) 



3v2-h2r) 



-jp {p - 1) {p - 2) 



2 ap-'^fp'' „ {p- i) p{2p-\) ip-i) p\ 



TI 4 ^ 6 ^^ 2 ) 



= ^iJ(i^-i)(p--3p + 2) 



= ^p(p 



If ip - 2). 



3. Je zwei auf einer Diagonale liegenden Punkten 

 entsprechen zwei rechtwinklig-gleichschenklige Dreiecke, 

 deren Hypotenuse der Abstand dieser Punkte ist; also 



,.3^4£l^ + 8|^^ 



= ^p{p-l){2p-l). 



4. Wenn man auf einer Horizontalen oder Verti- 

 calen zwei Felder wählt, so entspricht ihnen, wenn ihr 

 Al)stand durch eine ungerade Zahl ausgedrückt wird, 

 kein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck, dessen Hypote- 

 nuse von ihnen begrenzt wird. Wenn ihr Abstand durch 

 eine gerade Zahl ausgedrückt wird, so entsprechen 

 ihnen ein oder zwei Dreiecke der erwähnten Art, je 

 nachdem ihr halber Abstand grösser oder nicht grösser 

 ist als der Abstand der Reihe von der ihr zunächst 

 liegenden, parallelen Reihe des äusseren Randes. 



Es sei zunächst p gerade; dann giebt es je zwei 

 Horizontalen und je zwei Verticalen, die vom Rande be- 



ziehungsweise die Abstände 0, 1, 2, . . ., -^ — 1 haben. 



Jede Reihe hat p Felder; es lassen sich also, wie man 

 leicht einsieht, zwei den Abstand 2i.i habende Punkte 

 auf jeder Reihe auf p — 2fi Arten bestimmen. Wenn 

 man nun die Reihe betrachtet, die den Abstand v vom 

 Rande hat, so entspricht allen ;* > v ein Dreieck, allen 

 ß ^v zwei Dreiecke. Die Anzahl der Fälle, denen zwei 

 Dreiecke entsprechen, ist also 



2 V 2 



4^ 2(^^-2/^0 = 42(^^-^(^ + 1)) 



2 



= 4{p-l)'^v-4'^v" 



v = o 



ff -1)^ 



^Pip-i)ip-2). 



1)1- (2^-1) 



