XI. Nr. 31. 



Nahirwissenschaftliche Wochenschrift. 



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Die Anzahl der Fälle, denen 1 oder 2 Dreiecke ent- 

 sprechen, zusammen ist gleich der Anzahl der mög-Iichen 

 Stellungen zweier Damen auf derselben Horizontalen 

 oder Verticalen in „geradem" Abstände, also 



= 2/2(. 



1^ = 1 



= 2p 



G(._,)_.;i_!)i) 



J\ ist also gleich diesem Ausdruck, vermehrt um die 

 Anzahl der Fälle, denen noch ein zvA'cites Dreieck ent- 

 spricht; also 



v, = -^pHp - 2) -h~p ir-l) {p - 2) 



= \v {p-2)(bp-2). 



Für ungerades p gestalten sich die Rechnungen etwas 

 anders, da es .je vier Horizontalen und Verticalen im 



p 3 



Abstand 0, 1, . . ., f~ — , dagegen nur zwei im Abstand 



P —1 



— ^ — vom Rande giebt. Die Anzahl der Fälle, denen 



zwei Dreiecke entsprechen, ist also 



P-3 p-1 



2 V 2 



42 2o^-2,i)4-22(/'-2/0; 



die Gesammtzahl der Lösungen beider Fälle ist 



p-i 



2 



2p'£{p-2„)-, 



also 



F=i 



p-a 



2 



p-1 



2 



T'4 = 4 ^(p V - V (V + D) + (2p + 2) 2 iP - 2/>) 

 p — 3 p — 1 p — 3 p — 1 



= 4ip-l) 



2 



ip-2) 



6 



p — 1 p-hl 



■{2p + 2) 





= irO'-i)(5r-7i5) 



V {P — 1) i^P — T) 



Ftir gerades p ist also 



f^3 = F. + F2-Hr3 + r, 

 1 



1 



= ^pHp - l){p - 2) +-g-i> (?'-!)- 0' - 2) 



+ y /' iP - 1) (2i3 - 1) + -i-p (p -2) {bp — 2) 



= |^>(l'' + P"-5f^+2). 



1 



P = j2P {21''"— 20p' -i- 8.5p3_ 144^,2+ I02p— 28) - U^ 

 = ^ P (2 ?'•' — 20 p* -j- 7 9p^ — 1 50^2 _|_ 1 32 ^ _ 40) 



/' = 4 /> (/> - 2)- {2p' - I2r' 4- 23p - 10). 



Für ungerades p ist 



r^3 = T', + T'o -h Fs + n 



= y /J' (2' - 1) (? - 2) + -J- P (/J - 1)- {p - 2) 



-+-|- P (P - 1) i2p - 1) -I- 1 ;> (p _ 1) (5/) - 7) 



= jP{p-'^){p' + 2p-3) 

 1 



p{p-ir-{p+s). 



1 



i" = j2 (i' — ' ) f 2i^^— 18/.* +G72J^ — 77/>2-t-25/; - 3) - C/3 

 = L{p—l)(2p'''-18p*+Glp^ — 8dp^+43p — 5) 



12 

 12 



(/> -!)(/>- 3) (2/7* - 12/»« + 25/,- - 14/, + I). 



Die Aufgabe, die Anzahl derjenigen Aufstellungen 

 von drei Damen zu berechnen, bei denen keine eine andere 

 angreift, ist hiermit gelöst. Wie schon von vornherein 

 zu erwarten ist, enthält der Ausdruck für gerades jj die 

 Lineartäctoren p und p — 2, für ungerades p die Factoren 

 p — 1 und p — 3; denn auf dem 0-, 1-, 4-, 9-feldrigen 

 Brett giebt es keine Lösung der Aufgabe. 



Die im Vorhergehenden angewandte Methode, die 

 verbotenen Stellungen, je nach der Anzahl der Damen, 

 die sich angreifen, in Klassen einzutbeilen und eine hin- 

 reichende Anzahl von linearen Gleichungen abzuleiten, lässt 

 sich auf die Fälle «=4 u. s. w. ausdehnen; mindestens 

 eine Klassenzahl wird wohl immer direct zu berechnen 

 sein; doch nimmt die Schwierigkeit dieser Berechnung mit 

 wachsendem n nicht wesentlich zu; denn für)i>5 giebt 

 es gar keine Stellungen mehr, in denen sich je zwei 

 Damen angreifen, ausser wenn alle auf derselben Geraden 

 stehen; dieser Fall ist aber leicht zu erledigen. Es wird 

 immer nur darauf ankommen, ganze Functionen von p und v 

 nach V zu sunimiren; es treten dabei nur ganze Functionen 

 auf; hieraus folgt natürlich unmittelbar, dass die Anzahl 

 der den Bedingungen des Problems entsprechenden Auf- 

 stellungen von n Damen {n bezeichnet eine gegebene 

 Zahl) auf dem jr - feldrigen Brett (p ist veränderlich) eine 

 ganze rationale Function 2Mten Grades von p ist; denn 

 die Anzahl der möglichen Aufstellungen von n Damen auf 



dem /r- feldrigen Brett ist (^'^ j, also eine ganze Function 



2»!ten Grades von p; wäre die Zahl der erlaubten Auf- 

 stellungen von höherem Grade, so gäbe es für hinreichend 

 grosses p mehr erlaut)te Aufstellungen als mögliche. 



