XI. Nr. 39. 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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ich dagegen aus zwei Gefilsscn mit je lU solclien Kuyehi 

 einen Doppclzug, so darf ich mir beiderseits die Kugeln 

 von 1 bis 10 (nicht von 1 bis 20) numerirt denken und 

 kann dann paarweise ziehn: entweder Nr. 1 rechts mit 

 Nr. 1 links, oder Nr. 1 mit Nr. 2 oder ebenso weiter und 

 schliesslich Nr. 1 mit Nr. 10; ebenso gut aber auch Nr. 2 

 rechts mit Nr. 1 links, oder Nr 2. rechts mit Nr. 2 links, 

 oder Nr. 2 mit Nr. o, auch Nr. 2 mit Nr. 10, desgleichen 

 Nr. o mit jeder Nummer von drüben u. s. w. Wir sehen: 

 es tritt nicht etwa zu jeder Kugel der ersten Urne eine 

 Kugel der zweiten hinzu, durch Addition, sondern zu 

 jeder Kugel auf der einen Seite kann jede Kugel der 

 anderen Seite hinzutreten; jede anfänglich vorhandene 

 Kugel wird gleichsam so oft vervielfacht, als neuerdings 

 Kugeln dazugekommen sind, hier also verzehnfacht — 

 durch Multipfication. Danach sind die Kugclpaare, die 

 mir überhaupt in die Hände geratheu können, 10 X W, 

 das ist 100 au Zahl. Wie viele aber von diesen über- 

 haupt möglichen Fällen sind mir günstig, d. h. in wie 

 vielen dieser 100 Paare findet sich wenigstens Eine weisse 

 Kugel, wenigstens Ein weisser Halbzug V 



Nehmen wir an, beiderseits sei die weisse Kugel mit 

 Nr. 1 bezeichnet. Dann wird jede der 10 Verbindungen, 

 welche die Nr. 1 von der einen Seite mit der anderen 

 Seite eingehen kann, mindestens Einmal Weiss enthalten; 

 das giebt 10 günstige Fälle. Ausserdem trifft jede der 



9 sciiwarzen Kugeln (Nr. 2 bis Nr. 10) in ihrer ebenfalls 

 zehnfachen Verbindung mit drüben Einmal auf eine 

 weisse Gesellschafterin; macht noch 9 und zusammen 

 also 19 günstige Fälle. Oder Nr. 1 von rechts giebt 



10 günstige Paare, Nr. 1 von links giebt auch 

 iO günstige Paare, nur dass davon eins bereits da war, 

 (nändich Nr. 1 links mit Nr. 1 rechts); das macht wieder 19. 

 Sonach ist das „Maass der Wahrscheinlichkeit", eine 

 weisse Kugel zu ziehn, weder Vio tk i- ^Vioo; noch -,io 



sondern '7io.)i "»d ^las entgegengesetzte, nur 



'ioo> 



d. 



lauter schwarze zu ziehn, ist ^^/i^n (die Wahrscheinlich 

 keit, lauter weisse zu ziehn, ist ^ig,-,, die, mindestens Eine 

 schwarze zu ziehn, '''Vioo)- 



Die verhüllte Zukunft, die erst nur in 10 Felder ein- 

 getheilt war, wurde diesmal noch weiter zerlegt, indem 

 jedes der F'elder wieder weitergetheilt ward, aber nicht 

 in Hälften sondern in Zehntel. Von diesen 100 Feldern 

 gehören 19 unserm Glück, 81 unserm Unglück; soll auf 

 jedes eine Mark eingesetzt werden, so setzen wir 19 und 

 unser böser Dämon setzt 81 Mark. Es ist eine Wette 

 von 19 gegen 81 unsererseits, von 81 gegen 19 wider 

 uns. Woher nun diese räthselhaften Zahlen? Denken 

 wir uns das bei einem einzigen Zug aus einem zehn- 

 kugeligen Gefäss bevorstehende Schicksal als einen quer- 

 liegenden Streifen, zehnmal so lang als breit und in die 

 bekannten 10 Felder eingetheilt, wovon das Eckfeld links 

 für weiss gilt, also uns gehört. An diesen Streifen setzen 

 wir rechts nach unten einen gleichen Streifen an, dessen 

 oberstes Feld mit dem rechten Eckfeld des ersten Streifens 

 zusammenfällt, und dessen unterstes Feld wieder für weiss 

 gilt; dieser Streifen birgt die Zukunft des zweiten Zuges. 

 Ergänzen wir dieses Gebilde zu einem Quadrat mit zehn- 

 theiliger Seite, so zerfällt dieses in 100 Quadratchen, die 

 zusammen das Gesammtschicksal eines Doppelzuges aus- 

 machen. Von dem grossen Quadrat bilden aber die 



9 schwarzen Felder oben und die 9 schwarzen rechts 

 wieder die Seiten eines Theilquadrats von 81 Feldern, 

 während die übrig bleibenden .Streifen links und unten je 



10 weisse Felder, wovon eins gemeinsam, also 19 bilden. 

 Somit bedeutet hier 81 das Quadrat der Zahl der bei 

 einem Zug ungünstigen Fälle, 19 die Ergänzung auf 100. 

 Wollen wir uns einen dreifachen Kugelzug aus drei Ge- 

 lassen veranschaulichen, so müssen wir uns jede der 



beim zweifachen Zug anzunehmenden 100 Möglichkeiten 

 mit ieder der 10 Möglichkeiten verbunden denken, die 



für einen dritten Zu«- allein in Betracht kämen 



Zu 



diesem Zweck setzen wir auf demselben Eckteld rechts 

 oben, das zum Uebergang vom einfachen in den doppelten 

 Zug gedient hatte, einen entsprechend zehntheiligen vier- 

 eckigen Pfeiler auf, dessen 9 untere Würfel schwarz, 

 dessen oberster Würfel weiss bedeutet, und bilden mit 

 dieser Höhe aus der vorliegenden Grundfläche einen 

 Würfel, dessen 1000 Würfeltheilchen die sämmtlichcn 

 Möglichkeiten des dreifachen Zuges enthalten. Ein Teil- 

 würfel davon ist mit 9gliedriger Kante und 81glicdiiger 

 Seite, also mit 729 Würfeltheilchen, als Vertreter der 

 sämmtliehen rein schwarzen Züge auzusehn ; das aus den 

 übrigen 271 Würfeltheilchen gebildete Zelt als Vertreter 

 der sämmtliehen mit weiss mindestens gemischten Zuge. 

 Die Wette steht jetzt 271 zu 729, die Hoffnung aut Ge- 

 winnst, die erst nur V,,, oder i^Vooo, ^'"^"^ , "^' o« ", o^A 

 '"%ooo war, beträgt jetzt '^'i^iono, ist also von 100 aut IJO 

 und weiter auf 271 gestiegen. 



Wenden wir dies auf den Fall des Hülfesuchens an, 

 so ist die Wahrscheinlichkeit, dass mich nicht nur Ein 

 Mitmensch zurückweist (was zu -"lo anzusetzen war), 

 sondern dass zwei es thun, «Vioo! die Wahrscheinlichkeit, 

 dass drei es thun, '^Vi„oo- Ebenso die Wahrscheinlich- 

 keit, dass mir von Zweien Einer hilft, ^Vioo; dass von 

 Dreien Einer hilft, -"/,ooü- I«1i niusste nur, dort wie hier, 

 das uns schon liekannte Verhältniss 7,n, das Maass der 

 sogenannten einfachen Wahrscheinlichkeit, mit sich selbst 

 multipliciren, um das der zweifach zusammengesetzten zu 



erhalten: «/lo X 'Ao, geschrieben (»/lo)', giebt «Viooi 



der 



Rest bleibt mir. Zur dreifach zusammengesetzten Wahr- 

 scheinlichkeit bedarf es einer nochmaligen Multiplication 



mit ^10, geschrieben (• 



/lOl ! 



d. i. 



/lOOO- 



Die Wahr- 



scheinlichkeit also, dass meine Hoffnung fehlschlägt, sinkt 

 beim Einbeziehn von zwei statt Eines Menschen in meine 

 Absichten von 900 Tausendsteln auf 810, beim Ein- 

 beziehn von dreien auf 729. Dehne ich meine Ab- 

 sichten auf vier Menschen aus, so sinkt sie auf (7io)*> 



. 6561 . . . „ „,„..,. 59.049 



'■ 10.000 



, bei fünf auf (7io)', d. i. ^qqqqq , bei sechs 



auf 



531.441 



bei sieben auf 



4,782.969 



bei acht auf 



10,000.000' 

 in ungefähren Tausendsteln ausge- 



1,000.000' 



43,046.721 , 



100,000.000' 



drückt: von 729 auf 656, auf 590, auf 531, auf 478, 

 auf 430. Dehne ich den Plan immer weiter aus, so kann 

 ich diese Wahrscheinlichkeit um so kleiner machen, je 

 weiter ich gehe; und nur äussere Gründe, Mangel au 

 Zeit u. s. w., können mich verhindern, diese Wahr- 

 scheinlichkeit, die allerdings niemals Null wird, so klein 

 zu machen, dass sie praktisch nicht mehr in Betracht 

 kommt, und meine Erfolgshoffnung, die freilich niemals 1 

 wird, so zu vergrösseru, dass sie praktisch so viel wie 

 eine Gewissheit ist. 



Was wir hier auseinandergesetzt, weist uns kein 

 neues Handeln an; denn wir handeln bereits in der That 

 so, indem wir beharrlich vom Einen zum Andern gehn 

 und denken: „Einer muss eben helfen." Sind wir nicht 

 so beharrlich, lassen wir schon nach 1 oder 2 Fehlgriffen 

 den Math sinken, so fehlt's uns zunächst nicht an logischer 

 Einsicht, sondern an Math oder Thatkraft ; dann allerdings 

 kann uns jene theoretische Belehrung zu neuen Versuchen 

 Kraft geben, aber dann waren wir eben praktisch unvoll- 

 kommene Menschen, die sich erst durch die Theorie zeit- 

 weilig vollkommen machen Hessen und erst mittelst dieses 

 theoretischen Gewinnes wieder entsprechend handeln 

 konnten. 



