Nr. 17. 
Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 
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Gletschertöpfe von Berendt a. a. ©. gleichfalls erwälnten 
„goldenen Aussicht“ in Hain. Seinen Namen trägt er 
von der aus der Ferne bei richtiger Seitenbeleuchtung 
allenfalls an eine menschliche Gestalt erinnernden Form 
seiner Blende. In der That ist er gerade wie unsere hier 
auf dem Adlerfels in Rede stehende Platte, nichts anderes 
als ein bei der Zerstörung der Felskuppe, deren Ober- 
fläche seine jetzige Seitenfläche bildete, auf die Seite 
gekippter Felsblock mit einem Doppelstrudelloch, oder 
einem Zwillings-Gletschertopf. Ja die Aufeinanderhäufung 
der die Felsgruppe bildenden Blöcke, welche durch 
Menschenhand sicher nie bewegt worden sind, weist auch 
dort sehr nachdrücklich auf die Annahme eines dabei 
thätigen Schubes durch Gletschereis hin. 
Professor Berendt in seiner schon mehrfach ange- 
führten Abhandlung geht überhaupt noch weiter mit seinen 
Schlüssen auf eme ehemalige Vereisung im Riesen- 
gsebirge, indem er dort wörtlich schreibt: 
„Wenn somit eimerseits diese Blöcke in ihrer Ver- 
theilung auf Höhen und Kämmen, andererseits jene auch 
aus den Angaben von Opferkesseln sich ergebenden, so 
gut wie ausnahmslos als Gletschertöpfe sich erweisenden 
Strudellöcher als Beweise einer ehemaligen Vergletscherung 
in Anspruch genommen werden müssen, so lehrt ein Blick 
auf die Vertheilung beider sofort, dass es sich bei dieser 
Vergletscherung nicht nur, wie anfangs angenommen 
wurde, und wie auch unbedingt zu einer gewissen Zeit 
der Fall gewesen sein muss, um einen grossen Schreiber- 
hauer Gletscher und vielleicht daneben um eine Anzahl 
kleiner Gletscher gehandelt haben kann, dass vielmehr 
diese Vereletscherung im Bereiche des Riesengebirges — 
und somit wahrscheinlich der Sudeten überhaupt — eine 
weit allgemeinere gewesen ist.“ 
„Nieht nur, dass die eigentlichen Gehänge des Ge- 
birgskammes und die sich von ihm nordwärts zwischen 
den einzelnen Rippen hinabziehenden Senken ganz mit 
Eis bedeckt und erfüllt gewesen sein müssen. Auch diese 
Rippen selbst und die sich bis zum Bober erstreckenden 
Vorberge müssen hiernach unter Eisdecke gelegen haben.“ 
„Das würde unter Umständen hier ein eigenes zu- 
sammenhängendes Inlandeis an der Nordseite des Riesen- 
gebirges ergeben, wie es — nur in grösserem Maass- 
stabe — die Glacialforschungen für die Alpen längs des 
Nordfusses derselben schon länger — für die Ostalpen, 
aber auch nicht gerade seit langem — ergeben haben.“ 
X. 
Ueber den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome. 
Von Dr. 
Eugen Dreher. 
(Schluss.) 
Was nun die zweite Frage von Helmholtz’ in Betreff 
der Beweisbarkeit der Axiome anbelangt, so haben wir 
hierauf nur zu erwidern, dass jeder Beweis Voraus- 
setzungen verlangt, die in letzter Reihe der Organisa- 
tion unseres Denkens gemäss als nicht mehr beweisbar zu er- 
achten,»somit Sache der Anschauung sind. Hieraus folgt 
aber, dass wir nichts weiter verlangen können, als dass 
ein Axiom.in Folge der Klarheit der Anschauung und der 
Schärfe der ihm zu Grunde liegenden Begriffe sich un- 
serem Geiste als eine nicht anders zu denkende That- 
sache, d. h. als eine subjeetive Wahrheit aufdrängt, als 
eine Uebereinkunft des logischen Denkens unseres Ich 
und der ‘auf dieses einwirkenden Wahrnehmungen. So 
können wir z. B. den Begriff der geraden Linie,. obwohl 
wir eine unverkennbar deutliche Anschauung von ihr be- 
sitzen, dennoch nicht definiren, es sei denn durch nichts 
anderes sagende Umschreibungen, womit für unsere Er- 
kenntniss keine Bereicherung erwüchse. Der Begriff der 
geraden Linie schliesst aber "den des kürzesten W eges in 
sich, wie das schon aus der einfachen Betrachtung 
erhellt, dass z. B. eine Seite a b eines Dreiecks «a b ce nicht 
die mindeste Bereehtigung hätte, wenn wir nicht unter der 
Seite ab den kürzesten Weg von «a nach b verständen. 
Es ist daher ein Fehler in der Mathemathik, wenn man 
den Satz: der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten ist 
die gerade Linie, wie dies üblich ist, daraus zu beweisen 
sucht, dass in demselben Dreiecke dem grösseren Winkel 
auch die grössere Seite gegenüberliegt, da, um es noch- 
mals prägnant hervorzuheben, man bei diesem Beweise 
schon den Begriff der geraden Linie, des kürzesten Weges 
zwischen zwei Punkten also, einschmuggelt. 
In entsprechender Weise genügt mir z. B. die zwin- 
gende Vorstellung, dass wenn ich eine (gerade) Ebene 
um eine (gerade) Linie schwenke, der ganze Raum von 
der Ebene durchlaufen werden muss, um einzusehen, dass 
durch drei Punkte, die nicht in einer geraden Linie liegen, 
stets eine gerade Ebene und zwar nur eine einzige ge- 
legt werden kann. So genügt die einleuchtende De- 
finition: dass gleichlaufende Linien solehe Linien sind, 
die, wenn sie auch nur einen Punkt gemeinsam besitzen, 
zusammenfallen müssen, um alle Lehrsätze von den ver- 
schiedenen Winkeln an parallelen Linien, welche von 
einer dritten geschnitten werden, wie die von gleich- 
liegenden Winkeln, von Wechselwinkeln u. s. w. mit Leich- 
tigkeit bei Zuhülfenahme der Deckung der Winkel ein- 
fach und einleuchtend zu beweisen. 
Hierbei verkenne ich als Psychologe nicht, dass das- 
jenige, was für mich durchaus einleuchtend ist, einem An- 
dern keineswegs so überzeugend und zwingend wie mir 
entgegenzutreten braucht. So ist es denn auch sehr gut 
denkbar, dass der Eine bereitwilligst denjenigen Lehrsatz 
als einen Grundsatz anerkennt, für den ein Anderer 
einen Beweis seinem Denken zufolge verlangt. Dass 
diese Betrachtung für den Pädagogen von Wichtigkeit 
ist, bedarf kaum der Erwähnung. Wer daher in die 
Tiefen der Mathematik eindringen will, muss sich prüfen, 
welche Lehrsätze ihm als Axiome einleuchten, und für 
welche er einen Beweis verlangt. — So suchte ich als 
Sehüler, um hier nur ein Beispiel aus einer der Mathe- 
mathik höchst verwandten Wissenschaft anzuführen, nach 
einem Beweise für den Satz, dass so viele Anstösse auf 
einen Punkt auch einwirken mögen, er nur Einer Re- 
sultirenden folgen kann, den ich auch auf indireetem Wege 
fand. Heute, wo es mir klar ist, dass ich mir kein 
Geschehen, welcher Natur es auch sein mag, ohne hin- 
reiehenden Grund vorstellen kann, 
Beweis für den genannten Satz. 
In dem vorher angeführten Vortrag über den Ursprung 
und die Bedeutung der geometrischen Axiome erwähnt 
nun von Helmholtz in Betreff der Congruenz der Raum- 
gebilde: 
„Die Grundlage aller Beweise in der Euklidischen 
Methode ist der Nachweis der Congruenz der betreffenden 
Linien, Winkel, ebenen Figuren, Körper u. 8. w. Um die 
Congruenz anschaulich zu machen, stellt man sich vor, 
dass die betreffenden geometrischen Gebilde zu einander 
hinbewegt werden, natürlich ohne ihre Form und Dimen- 
sionen zu verändern. Das dies in der That möglich und 
verlange ich keinen 
