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Naturwissenschaftliehe Wochenschrift. Nr. 17. 
ausführbar sei, haben wir alle von frühester Jugend an er- 
fahren. Wenn wir aber Denknothwendigkeiten auf 
diese Annahme freier Beweglichkeit fester Raum- 
sebilde mit unveränderter Form nach jeder Stelle 
des Raumes hin bauen wollen, so müssen wir die Frage 
aufwerfen, ob diese Annahme keine logisch unerwiesene 
Voraussetzung einschliesst. 
Wir werden gleich nachher sehen, dass sie in der 
That eine solche einschliesst, und zwar eine sehr folgen- 
reiche. Wenn sie das aber "thut, so ist jeder Congruenz- 
Beweis auf eine nur aus der Erfahrung gewonnenen That- 
sache gestüzt.* 
Wir haben hierauf zu erwidern, dass die Voraussetzung 
der freien Beweglichkeit fester Raumgebilde mit unver- 
änderter Form als eine Nothwendigkeit gelten muss, da 
sie, wenngleich auf Erfahrung, wie alle Erkenntniss des 
Ich in letzter Instanz sich gründend, eine vergleichende 
Betrachtung von Raumgebilden, die, wie aus den späteren 
Erörterungen von v. Helmholtz’ hervorgeht, ihre Gestalt 
mit dem Raüme, den sie einnehmen, wechseln sollen, zur 
Unmöglichkeit machen würde. Ausserdem ist unser Denken 
so organisirt, dass es für jede Verschiebung von Theilchen 
eines “Ganzen, oder, was dasselbe sagt, für jede Um- 
wandlung der Gestalt Kräfte verlangt, die der leere 
kaum an und für sich nicht zu bieten vermag. 
Um aber seine abweichende, vorwiegend von Beltrami 
aufgestellte und vertretene Raumhypothese aufrecht zu er- 
halten, welche verlangt, um es grell zu kennzeichnen, dass 
der Raum in seinen (nach Euklid) gleichartig gedachten 
Theilen nicht gleichartig sei, sucht von Helmholtz seine 
metamathematischen Speculationen durch die Betrachtung 
annehmbar zu machen, dass er voraussetzt, theoretisch 
gedachte Wesen von zw eidimensionaler Raumanschauung 
bewohnten beispielshalber den Mantel einer Kugel und 
entwürfen Gesetze über die Natur dieses an sich zwar 
zweidimensionalen, im dreidimensionalen Raum allein 
Jedoch denkbaren mathematischen Gebildes. Statt aber 
anzunehmen, dass diese Wesen ihrer zweidimensionalen 
Anschauung gemäss den Kugelmantel als eine (ebene) 
Kreisfläche" pereipirten, lässt von Helmholtz sie Gesetze 
von dem Kugelmantel aufstellen, die nur mittels drei- 
dimensionaler Anschauung gewonnen werden können. 
Hierbei erinnere ich daran, dass jede krumme Fläche als 
eine Summe von unendlich kleinen geraden Flächen 
anzusehen ist, womit die dreidimensionale Anschauung 
des Raumes, in welehem wir uns die krummen F lächen 
zu denken haben, erwiesen ist. Als höchst wesentliche 
Bestätigung dieser Auffassung verweise ich auf die Lehren 
der theoretischen Mechanik, der Wissenschaft der Be- 
wegung, denen zufolge jede Bewegung in einem be- 
stimmten Zeitdifferential nur geradlinig sein kann, wo- 
mit jede krumme Linie sich als eine Summe von unendlich 
kleinen geraden Strecken herausstellt. 
In der Gegenwart jedoch, die dem Euklidischen 
Punkte entspricht, ruht jeder bewegte Körper, da er 
nicht zu derselben Zeit zwei Lagen einnehmen kann.*) 
Indem so von Helmholtz die Existenz von Wesen 
zweidimensionaler Raumanschauung als zulässig, wenn- 
gleich im rein theoretischen Sinne, erachtet, erinnert er 
uns an Zöllner’s Betrachtungen über die räumliche Natur 
der Sehwahrnehmungen, welche dieser Forscher, wie all- 
gemein bekannt, vor einem Jahrzehnt ungefähr "anstellte, 
um die Aufstellung der Hypothese von der vierdimen- 
*) Dass wir bei metaphysischen Fragen in letzter Instanz 
auf Widersprüche stossen, welche die Folgen einer „Antithetik* 
unseres Denkens sind, übergehe ich hier, indem ich darauf ver- 
weise, dass ich bereits vor drei Jahren in dieser Zeitschrift in 
einem Artikel über Antinomien in der Naturwissenschaft diese 
denkgemässen Widersprüche aufgedeckt habe. 
sionalen Natur des Raumes zu motiviren. Das monoeulare 
Sehen ist, wie Zöllner richtig bemerkt, ursprünglich 
ein Sehen ohne Tiefenwahrnehmung, indem wir, 
ohne Erfahrung geleitet, alle pereipirten Punkte 
auf dem Mantel einer Kugel sehauen, in deren 
Mittelpunkte das Auge liegt. 
Hieraus aber folgern zu wollen, wie dies Zöllner 
thut, dass das monoculare Sehen ursprünglich an sich 
zweidimensionaler Natur war, ist deswegen als unriehtig zu 
erachten, weil wir behufs Construction eines Kugelmantels 
(worauf genanntes Sehen basirt) des dreidimensionalen 
Raumes bedürfen, wenngleich der Mantel als solcher 
zweidimensionaler Beschaffenheit ist, insofern er keine 
Tiefe (Dicke) aufweist. Das monoculare Sehen würde 
mithin erst dann ein wirklich zweidimensionales sein, wenn 
wir alles mit einem Auge Geschaute in einer einzigen 
geraden Ebene pereipirten. 
Indem uns aber die Sinne den Euklidischen Raum von 
drei Abmessungen vorführen, haben wir bei der Ausschlag 
gebenden Bedeutung unserer Sinne für unsere Erkennt- 
niss keine Veranlassung nach einem Raume von irgend 
welcher anderen Beschaffenheit zu forschen, dessen Exis- 
tenzberechtigung schon deswegen als höchst zweifelhaft 
erscheinen müsste, weil er unserer Anschauung durchaus 
widersprechen würde. — Es kann daher nur von Gewinn 
für den Mathematiker sein, wenn er auch bei seinen ab- 
stractesten Speeulationen immer wieder an die Erfah- 
rung anknüpft, d. h. zu dem Boden der Empirie nieder- 
steigt, auf dem sich in letzter Reihe sein scheinbar auf 
angeborenen Ideen gegründetes Lehrgebäude erhebt, das 
den Zweig menschlichen Wissens bildet, welcher der Er- 
fahrung am wenigsten bedarf. 
Wie aber verträgt es sich mit dem bisher Erörterten, 
mit der aus Erfahrung geschöpften Natur des Raumes, 
dass, wie Kant, Fries und Schleiden unwiderleglich nach- 
gewiesen haben, der Raum eine der Seele angeborene 
Anschauungsform ist, so dass Kant in seiner „Kritik der 
theoretischen Vernunft“, die Denkbarkeit postulirte, alle 
geometrischen Lehrsätze unabhängig von jeder Erfahrung 
aufzustellen, und Fries in seiner „Psychologie“ von einer 
der Seele angeborenen unbewussten Mathematik 
spricht ? 
Der Widerspruch mit unseren bisherigen Deduetionen, _ 
so prägnant er auf den ersten Blick auch erscheinen mag, 
fällt jedoch, wenn man in Betracht zieht, dass die Percep- 
tionen der äusseren Sinne keine unmittelbaren Kundge- 
bungen der Aussenwelt sind, sondern durcehgeistigte 
Manifestationen von den „Dingen an sich“, um mit Kant 
zu sprechen, womit diese Wahrnehmungen höchstens nur 
den Werth von mehr oder minder zutreffenden „Sym- 
bolen“ („Zeichen“) äusserer Vorgänge zu beanspruchen 
haben. Da aber die psychische Gestaltung der Sinnes- 
wahrnehmungen nicht vom Ich herrührt, sondern nur die 
Produete dieser Gestaltungen zum Bewusstsein gelangen, 
so ist es das Unbewusste der Seele, um es im Gegen- 
satze zu den Thätigkeiten des Ich kurzweg so zu nennen, 
dem die Anschauungsform des Raumes angeboren ist, 
während das Ich die Raumvorstellung aus der Erfahrung, 
aus den Perceptionen der äusseren Sinne, schöpft. Re- 
lativ unbewusst, d. h. ohne dass das Ich es gewahr 
wird, entwerfen wir so die genannten, uns als Aussenwelt 
berückenden Wahrnehmungen, veranlasst hierzu durch 
Moleeularbewegungen im centralen Nervensystem; be- 
wusst entlehnen wir die Vorstellung von Licht, Farbe, 
Ton, Wärme u. s. w., wie auch die vom Raum diesen 
seelischen, an sich gewiss bewusst verlaufenden Gestal- 
tungen. 
Hiermit erklärt sich die Polemik von Helmholtz 
gegen Kant in Betreff der angeborenen oder erfahrungs- 
