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<<“ Redaktion: 
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Dr. H. Potonie, 
Verlag: Ferd. Dümmlers Verlagsbuchhandlung, Berlin SW. 12, Zimmerstr. 94. 
VIII. Band. | Sonntag, den 
28. Mai 189. 
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Nr. 
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Mathematische Spielereien in kritischer und historischer Beleuchtung”). 
Von Prof. Dr. H. Sehubert. 
VII. Ueber magische Quadrate. 
A. Einleitendes. — Auf dem „Melancholie“ «e- 
nannten Holzsehnitt des berühmten Nürnberger Malers 
Albreeht Dürer 
folgende Quadrat: 
befindet sich als Attribut u. a. das 
Diese Anordnung der 16 Zahlen von 1 bis 16 hat die 
merkwürdige Eigenschaft, dass sich stets dieselbe Summe 34 
ergiebt, gleichviel, ob man die 4 in einer horizontalen 
Reihe stehenden Zahlen addirt, oder ob man die 4 Zahlen 
einer verticalen Reihe oder auch die 4 Zahlen in jeder 
der beiden Diagonalen zusammenzählt. Man nennt eine 
*), Nachtrag zu dem Problem der 15 Pensionats- 
Damen (Bd. VIL S. 307 ff.) — Nachträglich lese ich in den 
„Reereations“ von E. Lucas, dass das genannte Problem im Jahre 
1851 zuerst gestellt sein soll, und zwar von Kirchmann, demselben 
Mathematiker, der sich um das Pascal’sche Hexagrammum mysti- 
cum grosse Verdienste erworben hat. Nachdem der englische 
Mathematiker Cayley und der amerikanische Mathematiker Syl- 
vester darüber kleine Untersuchungen veröffentliebt hatten, gab 
Herr Frost im „Quaterly Journal of pure and applied Mathematies“ 
(No. 41, Cambridge 1870) eine methodische Lösung, die auch auf 
alle Fälle passt, wo die Zahl der Damen um I kleiner ist, als 
eine Potenz von 2 mit geradem Exponenten. Doch würde die 
Mittheilung dieser Lösung hier zuviel Raum kosten. In anderer 
Weise, als Frost, hatte auch Benjamin Peirce, Professor an der 
Harvard-Universität, das Problem gelöst und seine Lösung 1860 
in dem „Astronomieal Journal de Gould“, Band 6, S. 169 bis 174, 
veröffentlicht. 
solehe Anordnung von Zahlen ein magisches Quadrat, 
und das obige Quadrat ist das erste magische Qua- 
drat, das im ehristlichen Abendlande auftritt. 
Wie das Schachspiel selbst und viele der auf die 
Figur des Schachbretts bezüglichen Aufgaben ist auch die 
Aufgabe, ein magisches Quadrat herzustellen, wahrsehein- 
lich auf indischem Boden gewachsen. Von da gelangte 
die Aufgabe zu den Arabern, und von ihnen zu den Ost- 
römern. Endlich haben sich seit Albrecht Dürer auch 
die west-europäischen Gelehrten mit den Methoden zur 
Herstellung solcher Quadrate beschäftigt. Das älteste und 
einfachste magische Quadrat besteht in der quadratischen 
Anordnung der 9 Zahlen von 1 bis 9, so dass die Summe 
in jeder horizontalen, verticalen oder diagonalen Reihe 
stets dieselbe, nämlich 15, wird. Dieses Quadrat sieht 
so aus: 
In der That kommt immer 15 heraus, gleiehviel ob 
man 2 und 7 und 6, oder 9 und 5 und 1, oder 4 und 3 
und 5, oder 2 und 9 und 4, oder 7 und 5 und 3, oder 
6 und 1 und 8, oder 2 und 5 und 8, oder 6 und 5 und 4 
addirt. Es liegt die Frage nahe, ob diese Bedingung 
der überall gleichen Summe ‘auch dann erfüllt werden 
kann, wenn man den Zahlen andere Plätze anweist. 
Es lässt sich jedoch zeigen, dass.nothwendiger Weise 
5 die Mitte bilden muss, und dass die geraden Zahlen 
in den Ecken stehen müssen. Dadurch sind noch weitere 
7 Anordnungen möglich, die sich aber von der obigen 
und unter einander nur dadurch unterscheiden, dass man 
die Reihen oben, links, unten, rechts mit einander ver- 
