216 - »Naturwissenschaftliche Wochenschrift. Nr. 22 
tauscht und sich zu jeder Anordnung noch das Spiegel- 
bild hinzudenkt. Auch aus dem Dürer’schen Quadrat von 
4 mal 4 Feldern lassen sich durch Umsetzungen noch eine 
ganze Reihe neuer richtiger Quadrate bilden. Auf ein- 
fachste Weise bildet man ein magisches Quadrat der 
4 mal 4 Zahlen von 1 bis 16 folgendermaassen. Man 
schreibt sich die Zahlen von 1 bis 16 in natürlicher 
Reihenfolge in die Felder ein, also so: 
Dann lässt man die Zahlen in den 4 Ecekfeldern, 
also 1, 4, 13, 16 ebenso wie die Zahlen in den 4 Mittel- 
feldern, also 6, 7, 10, 11 an ihrer alten Stelle; statt der 
übrigen 3 Zahlen schreibt man aber ihre Ergänzungen 
zu 17, also 15 statt 2, 14 statt 3, 12 statt 5, 9 statt 8, 
8 statt 9, 5 statt 12, 3 statt 14 und 2 statt 15. So er- 
hält man das magische Quadrat: 
2 ad 
a P: 
ı |15|12| 4 |=34 
2|6|7|9|=s 
||| 5 |-3 
ı3|3|2|ı|-3 
34 34 34 54 
aus dem sich überall dieselbe Summe 34 ergiebt. Inter- 
essant ist an diesem Quadrat, dass auch immer 4 Zahlen, 
welehe um die Mitte herum ein Rechteck oder ein Qua- 
drat bilden, die Summe 34 liefern, z. B. 1, 4, 13, 16, 
sowie 6, 7, 10, 11, sowie 15, 14, 3, 2, sowie 12, 9, 5, 8 
oder auch 15, 8, 2, 9 oder 14, 12, 3, 5. Man überzeugt 
sich leicht, dass dieses Quadrat aus dem von Albrecht 
Dürer hervorgeht, wenn man die beiden mittleren Ver- 
ticalreihen mit einander vertauscht. 
B. Aeltere Bildungsweisen für ungerade 
Felderzahl. — Schon seit alter Zeit kennt man Vor- 
schriften, um magische Quadrate auch von mehr als 5 mal 5 
oder 4 mal4 Feldern zu bilden. Zunächst lässt sich leicht 
die Summe berechnen, die sich bei einer gegebenen Zahl 
von Feldern aus jeder Reihe ergeben muss. Liegt 
nämlich an jeder Seite des auszufüllenden Quadrats eine 
gewisse Zahl von Feldern, so hat man diese Zahl mit sich 
selbst zu multiplieiren, 1 hinzuzuzählen, die erhaltene Zahl 
wieder mit der Felderzahl an jeder Reihe zu multiplieiren 
und dann die Hälfte zu nehmen. So ergiebt sich bei 
4 mal 4 Feldern: 4 mal 4 sind 16, 16 und 1 sind 17, 
und die Hälfte von 17 mal 4 giebt 34. Ebenso kommt 
bei 5 mal 5 Feldern: 5 mal 5 sind 25, 1 dazu giebt 26, 
dann die Hälfte von 26 mal 5 giebt 65. Weiterhin kommt 
für 6 mal 6 Felder: 111 als Summe, für 7 mal 7 Felder: 175, 
für S mal 8 Felder: 260, für 9 mal 9 Felder: 369, für 10 mal 
10 Felder: 505 u. s. w. Die indische Vorschrift für die 
Herstellung soleher magischer Quadrate, die “eine un- 
gerade Anzahl von Feldern an jeder Seite des Quadrats 
haben, lässt sich folgendermaassen aussprechen: Man 
schreibe 1 in die Mitte der obersten Reihe, dann 2 als 
unterste Zahl der rechts daneben befindlichen 
Vertical- | 
reihe und schreibe dann die weiteren Zahlen in ihrer 
natürlichen Reihenfolge, diagonal nach rechts oben so ein, 
dass man nach Erreichung des rechten Randes, am linken 
Rande in der darüber befindlichen Reihe fortfährt, und 
nach Erreichung des oberen Randes, am unteren Rande 
in der rechts daneben befindlichen Reihe die Zählung 
weiterführt, wobei nur noch zu beachten ist, dass man, 
wenn man auf ein schon besetztes Feld stösst, statt dessen 
das Feld ausfüllt, das unter dem zuletzt ausgefüllten sich 
befindet. Auf diese Weise ist z. B. das folgende magische 
Quadrat von 7 mal 7 Feldern gebildet, in dem man die 
Zahlen in ihrer natürlichen Reihenfolge verfolgen möchte: 
2 R o 
N Q: 
21|3|12 413|3/2|=19 
22.31 |40|49| 2 | 11 | 20 h 
We — . — — ——. 
175 175 175 175 175 175 175 
Eine weitere Förderung der Theorie der magischen 
Quadrate und der Methoden zu ihrer Herstellung ver- 
danken wir dem Byzantiner Moschopulos im 14. Jahr- 
hundert, ferner noch Albrecht Dürer, der um 1500 lebte, 
dem berühmten Rechenmeister Adam Riese und dem 
Mathematiker Michael Stifel, die um 1550 lebten. Im 
17. Jahrhundert beschäftigten sich mit den magischen 
Quadraten Bachet de Meziriac und Athanasius Kircher. 
Um 1700 endlich förderten die Theorie erheblich die 
französischen Mathematiker De la Hire und Sauveur. In 
neuerer Zeit bekümmerten sich die Mathematiker weniger 
um die magischen Quadrate, wie überhaupt um derartige 
Unterhaltungsaufgaben. Doch fasste in jüngster Zeit der 
3raunschweiger Mathematiker Scheffler seine und Anderer 
Studien über magische Quadrate in eleganter Weise zu- 
sammen. Am bekanntesten von den verschiedenen Me- 
thoden, magische Quadrate mit ungerader Felderzahl zu 
formiren, ist das folgende. Man schreibe die Zahlen nach 
einander in folgender Weise diagonal: 
