Ni. 22. Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 
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Nachdem man so 25 Felder des zu füllenden Qua- 
drats von 49 Feldern ausgefüllt hat, setze man die an 
jeder Quadratseite ausserhalb befindlichen 6 Zahlen, ohne 
die Figur derselben zu ändern, genau in die an der Gegen- 
seite befindlichen leer gebliebenen Felder. Nach dieser 
von Bachet de Meririae, herrührenden Methode entsteht 
das folgende magische Quadrat der Zahlen von 1 bis 49: 
38 | 21,| 46 
6. Neuere Bildungsweisen für ungerade 
Felderzahl. — Mit Reeht wird der Leser fragen, ob es 
nieht noch richtige magische Quadrate giebt, die 
andere Weise, als auf die eben angegebene, gebildet 
werden, und ob es nicht Bildungsverfahren giebt, ie auf 
alle denkbaren magischen Quadrate von bestimmter Felder- 
zahl führen. Für ungerade Felderzahl ist ein solches 
allgemeines Bildungsverfahren zuerst von De la Hire an- 
gegeben und jüngst von Herrn Scheffler vervollkommnet. 
Um dieses Verfahren kennen zu lernen, wählen wir das 
Beispiel von 5 mal 5 Feldern. Zunächst formiren wir zwei 
Hilfsquadrate. In das erste schreiben wir fünf mal die 
Zahlen von 1 bis 5, in das zweite die Vielfachen von 
fünf: O0, 5, 10, 15, 20. Es ist nun kl ar, dass durch Ad- 
diren jeder der Zahlen von 1 bis 5 mit eder der Zahlen 
0, 5, 10, 15, 20 alle 25 Zahlen von 1 bis 25 entstehen. 
Es handelt sich also bloss noch darum, die Zahlen so 
einzuschreiben, dass durch Addition der beiden Zahlen in 
zwei entsprechend liegenden Feldern auch wirklich jede 
Zusammenstellung einmal und auch nur einmal heraus- 
kommt, und dass ferner in jeder horizontalen, verticalen 
und diagonalen Reihe in jedem Hilfsquadrat jede Zahl 
auch wirklich erscheint. Dann muss die erforderliche 
Summe 65 erscheinen, weil die Zahlen von 1 bis 5 zu- 
sammen 15 und die Zahlen O0, 5, 10, 15, 20 zusammen 50 
ergeben. Man erreicht die erforderliche Art der Ein- 
schreibung dadurch, dass man sich die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 
(oder 0, 5, 10, 15,20) eyklisch denkt, d. h. auf 5 folgend 
wieder 1, und dass man nun, von irgend einer Zahl aus- 
gehend, entweder keine, oder immer eine, oder immer 
zwei u. s. w. Zahlen ID ner So entstehen Cyklen 
der ersten, zweiten u. S. W. Dun Zu B. 3 2 
ist ein Cyklus erster Okt, DA 3 ist zweiter 
Ordnung, 1, 5, 4, 3, 2 ist vierter Ordnung. Man hat nun 
bei beiden Hilfsquadraten nur darauf zu achten, dass 
horizontal in allen Reihen dieselbe Cyklus-Ordnung fest- 
gehalten wird, dass dasselbe auch in den verticalen Reihen 
geschieht, dass aber die Cyklus-Ordnung horizontal und 
vertieal verschieden ist. Endlich hat man nur noch darauf 
zu achten, dass zu denselben Zahlen des einen Hilfs- 
quadrats in dem andern Hilfsquadrat nicht gleiche 
Zahlen, sondern verschiedene Zahlen zugehören, d. h. 
in ebenso liegenden Feldern stehen. Möglich sind also 
etwa folgende Hilfsquadrate: 
auf 
217 
SRaEBee 0 |10]20 515 
Bm: 5|15|0 10 2 
2|3|#|5|ı[| und 10]2015 [15] 
4|5|ı]2]3 15| 0 |10]20| 5 
esusl bei“ 
Addirt man die in gleichliegenden Feldern stehenden 
beiden Zahlen, so erhält man das richtige magische 
Quadrat: 
ss /14/|25|6 | 17 
10 | | 2 13 | 24 
2|23|9 E f 
19 ® lu] 22| 8 
2 al | 4 15 
Man erkennt, dass man so eine grosse Menge von 
magischen Quadraten von 5 mal 5 Feldern bilden kann, 
wenn man die Zahlen in den beiden Hilfsquadraten auf 
alle mögliche Weise variirt. Zudem haben die so ent- 
stehenden Quadrate noch die besondere Eigenthümliehkeit, 
dass je 5 Zahlen, welche zwei Reihen ausfüllen, die einer 
Diagonale parallel sind und auf verschiedenen Seiten der- 
selben liegen, auch die coustante Summe 65 liefern, z. B. 
3 und 7, 11, 20, 24 oder 10, 14 und 18, 22, 1. Esent- 
steht also die Summe 65 im Ganzen aus 20 Reihen oder 
Reihenpaaren. Mit dieser Eigenthümlichkeit hängt zu- 
sammen, dass, wenn man neben oder über oder unter ein 
solches Quadrat dasselbe immer nochmal wieder angesetzt 
denkt, beliebig viele quadratisch geordnete Felder der- 
artig erscheinen, dass immer das Quadrat aus je 25 von 
diesen Feldern ein richtiges magisches Quadrat bildet, 
wie aus folgender Figur ersichtlich ist: 
[7 hs 4 15 [21 
1425| 6: 
10 | 16 | 2 113124 
9|20|ı 12/23] 9 |20| 1 | 
25| 6117| 3 
Jedes Quadrat von je 25 dieser Zahlen, wie z. B. 
die beiden fett umzäunten Quadrate, hat die Eigenschaft, 
dass beim Zusammenzählen der horizontalen, verticalen 
und diagonalen Reihen dieselbe Summe 65 herauskommt. 
Um auch ein Beispiel für eine höhere Anzahl von 
Feldern zu geben, folgt hier noch ein aus zwei Hilfs- 
quadraten nach der allgemeinen Methode von De la Hire 
gebildetes magisches Quadrat von 11 mal 11 Feldern: 
