Naturwissenschaftliche Wochensehritt. 
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Wenn man nun aber versucht, die andere Zahlen- 
gruppe 0, 6, 12, 15, 24, 50 in ein zweites Hilfsquadrat 
auf ähnliche Weise so einzufügen, dass jede Zahl des 
ersten Hilfsquadrats mit jeder Zahl des zweiten einmal 
und nur einmal in entsprechenden Feldern steht, so er- 
geben sich alle Versuche, diese zweite Bedingung gleich- 
zeitig zu erfüllen, als erfolglos. Deshalb ist es nöthig, 
solehe Hilfsquadrate, wie die beiden obigen, zu wählen. 
Eigenthümlich ist es, dass nur bei 6 mal 6 Feldern die 
Erfüllung der zweiten Bedingung unmöglich ist, dass aber 
z.B. bei 4mal4 oder SmalS Feldern zwei Hilfsquadrate, 
wie die Methode des De la Hire sie verlangt, möglich 
sind, nämlich bei 4 mal 4 Feldern: 
sp [erfem 
“lsjelı] „„.„ [elieloli 
2|ı]a@]a 12 s|4|o 
Ey IE 4|0 112 |s 
Das hieraus resultirende magische Quadrat wird sich 
der Leser selbst bilden können. Die Existenz dieser beiden 
Hilfsquadrate verursacht die Lösbarkeit einer hübschen 
Karten- Aufgabe. Ersetzt man nämlich die Zahlen 1, 2, 5, 4 
durch Ass, König, Dame, Bube, und die Zahlen 0, 4, 8, 12 
durch die Farben Treff, Pique, Coeur, Caro, so erkennt 
man, dass es gelingen muss, die 4 Ass, die 4 Könige, 
die 4 Damen und die 4 Buben quadratisch so anzuordnen, 
dass in jeder horizontalen, verticalen und diagonalen Reihe 
jede der vier Farben und jeder der vier Werthe 
gerade einmal, also auch nur einmal, vorkommt. Die 
obigen Hilfsquadrate ergeben folgende Lösung dieser 
Aufgabe: 
Um die Lösung dem Gedächtniss einzuprägen, beachte 
man, dass von jeder Ecke aus jede Farbe ebenso, wie 
Jeder Werth in einem Rösselsprung, gelegt werden muss. 
Legt man die 4 Karten einer Reihe fest, so giebt es nur 
zwei Möglichkeiten, die andern Karten so hinzulegen, 
dass in jeder Reihe jede Farbe und jeder Werth vor- 
kommt. 
Bisher haben wir von magischen Quadraten mit gerader 
Stellenzahl nur solehe von 4 mal 4 und von 6 mal 6 Feldern 
kennen gelernt. Der Vollständigkeit wegen lassen wir 
hier noch eins mit SmalS und eins mit 10 mal 10 Feldern 
folgen. Die Bildungsweise dieser Quadrate ist ähnlich 
der oben bei niederer gerader Felderzahl erörterten 
Methode. 
ı'8Ilal4|5|59|58 | 8 
sc lıolulss|selıualıs lo 
1818119 [45|4|22 | 23 4 
95 | 30 38 | as | 20 | 35 34 32 
33 | 31 | 30 | 36 | 37 27 | 26 | 40 
ae 8 alwolslalız 
ıl50lsı ls a2 |54l55| 9 
slzlslolalsj2je 
1.99.83 | 92 | 96 5 48 | 92 | 10 
| ı2 | ss | 1a | sIsir Blwlu 
so | 79 | 23 | 77 |» |» |” las | 2 |ı 
sı | 69 | 68 | 34 | 66 65 37 33 62 | 4 
so | a2 | 58 | 57 | 45 | 46 | a4 | 53 | 49 | 51 
so. | 52 | 43 | az | 55 | 56 | 54 | 4s | 59 a 
| 32 | 38 | 64 | 36 35 | 67 | 63 | 59 | 70 
alalslals|ela |” | 30 
82 \1s EEE 16 | 87 | 13 K: lsı 
Sl) | 93 A |} 85 1 |s| 2 | 100 
Die so gebildeten magischen Quadrate mit gerader 
Stellenzahl sind nieht die einzigen; es giebt vielmehr noch 
viele, die andern Bildungsgesetzen gehorchen. So hat 
man berechnet, dass bei 4 mal 4 Feldern 350, bei 6 mal 6 
Feldern aber sehon viele Millionen verschiedener magischer 
Quadrate möglich sind. Sehr gross wird auch die Zahl 
der nach De la Hire’s Methode formirten magischen Qua- 
drate mit ungerader Stellenzahl. Deren giebt es bei 
7 mal 7 Feldern schon 363 Millionen und 916 500. Noch 
ungeheurer wird die Anzahl der Möglichkeiten bei höherer 
Felderzahl. (Fortsetzung folgt.) 
Ueber die Sphenophyllaceen sind im vorigen Jahre 
wichtige Untersuchungen veröffentlicht worden, die über 
die systematische Stellung dieser eigenthümlichen Gruppe 
etwas mehr Aufschluss zu geben in der Lage sind, als 
unsere bisherigen Kenntnisse. Zur Orientirung über diese 
Pflanzen ist sehr zu empfehlen Solms-Laubach’s Einleitung 
in die Palaeophytologie von 1857 (S. 352—364), in wel- 
chem Werk die wichtigste Litteratur bis 1836 berück- 
sichtigt und angegeben ist. Nach dem Erscheinen des 
Solms-Laubach’schen Buches haben aber Zeiller und 
WilliamsonMittheilung engebracht, die einen ganz wesent- 
lichen Fortschritt in unserer Kenntniss der genannten 
Gruppe bedeuten. Zeiller’s Abhandlung erschien in den 
Com. rend. de l’Acad. des se. in Paris im Juli 1592 und 
Williamson giebt in der englischen Wochenschrift „Nature“ 
vom 3. November 1892 (S. 11—13) eine kurze Zusammen- 
