Nr: 23. 
äusserste*) Blasenschicht eines vacuolisirten Rhizopoden- 
*) Es soll natürlich nicht gesagt sein, dass die Skelettbildung 
immer gerade im Bereiche der äussersten Vacuolenlage stattfindet, 
im Gegentheil scheint es uns wahrscheinlich, dass dies häufig 
einige Vacuolenlagen weiter nach innen geschieht. Wir haben 
für unsere Figur nur deshalb eine äusserste Blasenschicht gewählt, 
weil wir in derselben auch einige für eine solche eigenthümliche 
Skelettbildungen (a, b) unterbringen wollten. 
Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 
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körpers darstellen. Nach aussen können sich die Vaeuolen 
als runde Kuppeln frei hervorwölben, seitlich drücken 
sie sich gegenseitig flach, unten ist das Netz der in 
die skelettogene Schicht fallenden Wandpartien, noch 
etwas weiter nach unten würde dann die nächstinnere 
Vaeuolenschicht folgen. 
(Schluss folgt.) 
Mathematische Spielereien in kritischer und historischer Beleuchtung. 
Von Prof. Dr. H. Schubert. 
(Fortsetzung.) 
E. Magische Jahreszahl-Quadrate. — Die bis- 
her ‚betrachteten Zauberquadrate enthielten immer nur die 
natürlichen Zahlen von lan aufwärts. Man kann jedoch 
aus einem richtigen magischen Quadrate leicht andere ab- 
leiten, bei denen ein anderes Gesetz in der Reihenfolge 
der einzuschreibenden Zahl maassgebend ist. Beispiels- 
weise könnte man nur die ungeraden Zahlen einschreiben. 
Von derartig abgeleiteten Zauberquadraten wollen wir 
hier nur diejenigen kennen lernen, bei denen zwar auf- 
einanderfolgende Zahlen eingeschrieben sind, als Summe 
der Reihen aber eine gewisse gewünschte Zahl, etwa eine 
Jahreszahl, erscheint. 
Dann hat man einfach zu den Zahlen des ursprüng- 
lichen Quadrats eine bestimmte zu berechnende Zahl hin- 
zuzuzählen, damit die verlangte Summe herauskommt. Ist 
dieselbe durch drei theilbar, so giebt es immer magische 
Quadrate mit dreimal drei Feldern, die diese Summe er- 
geben. Dann hat man die letztere durch drei zu divi- 
diren, und von dem Resultat 5 abzuziehen, um die Zahl 
zu erhalten, die man zu jeder Zahl des ursprünglichen 
Quadrats hinzuzuzählen hat. Ist die gewünschte Summe 
gerade, aber nicht durch 4 theilbar, so hat man 34 ab- 
zuziehen, und dann den vierten Theil zu nehmen, um die 
Zahl zu erhalten, die man: überall addiren muss. Will 
man also z. B. die Jahreszahl, 1590 als Summe jeder 
Reihe erhalten, so hat man 464 zu jeder Zahl eines ge- 
wöhnlichen magischen Quadrats. mit viermalvier Feldern zu 
addiren, mit andern Worten, man hat statt der Zahlen von 
1 bis 16, die von 465 bis 450 in die Felder einzufügen. 
Da die jetzige Jahreszahl 1892 durch 11 theilbar ist, so 
Zauberquadrat über die Jahreszahl 1592. 
112 124 | 136) 148 | 160 | 172 154 | 196 1208 220 232] — 1892 
147 1159| 171 183 |195 207 21051 192 | 133 135 | — js99 
182 194 | 206 |218 230 121| 133) 134] 146 158 170| — 1892 
217939 120 |132 144| 145157 169] 181 |193 205 | — 1892 
131 | 143 | 155 156 | 168 180 | ı92| 204 216|228| 119 — 1892 
166 1167| 129 191.203 1215 227 | 118 130 142 | 154] — 1892 
190202. 214| 286 117 129| 141 153 165 177 | 1758| - 1882 
935 | 116 128 140 152 164 176 | ı8s| 189 201 [213 — 1892 
139 | 151 163 1175| 187 109 900 | 912 »24| 115 127 | = 1892 
171186 198 | 210 |a1ı 223 | 114 126 138 150 1162 — 1892 
209 221|222| 113 1135| 137 149| 161 | 173 | 185 | 197 | — 1899 
1892 1892 1892 1882 1892 1892 1892 1892 1892 1892 1892 
L 
jede Reihe von 11 Feldern die Jahreszahl 
muss es gelingen, aus dem am Schluss von C von uns 
formirten Zauberquadrate ein solches abzuleiten, bei dem 
1892 er- 
giebt. Wir ziehen zu diesem Zweck die Summe des Ori- 
sinalquadrats 671 von 1892 ab, und dividiren den Rest 
durch 11, wodurch wir 111 erhalten und daraus erkennen, 
dass die Zahlen von 112 bis 232 in die Felder einzu- 
schreiben sind. So entsteht das folgende Quadrat, 
aus welchem 44 mal ein und dieselbe Summe, 
nämlich 1892 erhalten werden kann, nämlich 
erstens aus jeder der 11 horizontalen Reihen, 
zweitens aus jeder der 11 vertikalen Reihen, 
drittens aus den beiden diagonalen Reihen und 
viertens noch 2Omal aus je zwei Reihen, die, 
einer Diagonale parallel, zusammen 11 Felder 
haben und auf verschiedenen Seiten dieser Dia- 
gonale liegen, wie z. B. 196, 122, 158, 205, 131, 167, 
214, 140, 187, 223, 149. 
F. Ineinanderliegende magische Quadrate. 
Der Scharfsinn der Mathematiker hat auch magische Qua- 
drate gefunden, welche die Eigenthümlichkeit haben, dass, 
wenn man nacheinander am Rande je eine Reihe fort- 
nimmt, das übrig bleibende kleinere Quadrat noch immer 
ein magisches ist, d. h. die Eigenschaft hat, dass alle 
Reihen dieselbe Summe ergeben. Es mag hier genügen, 
von solchen Quadraten, die ein komplizirteres Bildungs- 
gesetz haben, zwei Beispiele zu liefern, von denen das 
erste 7 mal 7, das zweite 8 mal S Felder hat. Die 
Zahlen in jeder Umrahmung bilden um die Mitte herum 
Quadrate, die wieder für sich magisch sind. 
E 56/55 |11|53 | 13] 14 | 57 
[21516 [43139]38]0] ale ar ai 2 
49115 1633 30[31] ı 62 [49125 140 134 sı] 16] 3 
48|37 ea] 13| 2| 414828 |37 | 35 | 30| 17 [61 
a7[36120f25] 211 12] 3 > l44[39 | 26 | 32 33 |21 [so 
s Jıs aaa 5a] 19|38 | 27129 | 36] 46] 6 
9 |13|3#] 17]20|35 [41 58|20 1843] 23]41]50| 7 
10145 |44| 7 | 11 | 12] 46 s | 9 |10|54| 12] 52 151] 64 
Bei dem ersten dieser Quadrate enthält das inwendige 
Quadrat von 3 mal 3 Feldern die Zahlen von 21 bis 29 
derartig, dass jede Reihe die Summe 75 ergiebt. Dieses 
Quadrat liegt in einem grösseren von 5 mal 5 Feldern, 
welches die Zahlen von 13 bis 37 derartig enthält, dass 
jede Reihe die Summe 125 liefert. Endlich ist dieses 
Quadrat wieder Theil eines Quadrats mit 7 mal 7 Feldern, 
das die Zahlen von 1 bis 49 derartig enthält, dass jede 
Reihe die Summe 175 ergiebt. 
