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grosse Steine mit quadratischer Oberfläche 
gerade Platz hat, aber nur 15 solehe mit den 
Zahlen von 1 bis 15 beschriebene und sich be- 
rührende Steine enthält, diese Steine, wenn sie 
beliebig liegen, durch blosses Verschieben so zu 
ändern, dass die folgende Figur entsteht: 
Die durch diese Figur bestimmte Stellung der 15 
Steine zu einander wollen wir die reguläre Stellung 
nennen. Beispielsweise sei die folgende Stellung durch 
Verschieben in die reguläre überzuführen: 
Unter anderm wird man dieses Problem dadurch lösen 
können, dass man bei der gegebenen Anfangs-Stellung 
zunächst den mit 15 beschriebenen Stein auf das leere 
Feld rückt, dann die drei Steme 11, 8, 12 nach rechts 
schiebt. Aus der so gewonnenen Stellung 
kann man nach und nach die folgenden Stellungen leicht 
dureh Schieben erreichen: 
I: bu Er 1, 6 2 3 | 
DEE az el 
Kl ul 8 
13 14 15 ) 314 5 12 | 
lo la ame 
woraus nun durch Aufwärts-Schieben der Steine 8 und 12 
die reguläre Stellung sofort erreicht werden kann. 
Naturwissenschaftliehe Wochenschrift. 
Nr. 35 
Es fragt sich zunächst, wieviel Probleme mög- 
lich sind, d. h. wieviel verschiedene Anordnungen sich 
den 15 Steinen geben lassen, wobei vorausgesetzt werden 
soll, dass bei jedem Problem das leere Feld, wie bei der 
regulären Stellung, rechts unten ist. Wir kommen in das 
Gebiet der Permutationslehre. Zunächst sieht man ein, 
dass zwei Dinge a und b nur zwei Anordnungen ab und 
b a haben können. Bei drei Dingen giebt es schon drei- 
mal soviel, also 6, weil a vor b e und vor e b gesetzt 
werden kann, und ebenso zwei Anordnungen da sind, die 
mit b anfangen, sowie zwei, die mit e anfangen. Hieraus 
folgt wieder, dass vier Dinge a, b, ec, d viermalsoviel, also 
4%x53%X 2 — 24 verschiedene Anordnungen haben können. 
Und so muss diese Schlussfolge beliebig fortgesetzt 
werden können. Also kann man den 15 Steinen im 
Ganzen 
2x 3IXAX<Ix<6 x 1 x8Ex<Ix LI < III 
Anordnungen geben. Rechnet man dieses Multiplieations- 
Exempel aus, so erhält man die stattliche Anzahl von 
1 Billion 307 674 Millionen und 365 000 
Boss-Puzzle-Aufgaben. Dieselbe Zahl ergiebt sich natür- 
lich auch, wenn man fragt, wieviel Platz-Verschiedenheiten 
eine Tischgesellschaft von 15 Personen haben kann, wo- 
bei es natürlich schon als eine neue Platzordnung gerechnet 
ist, wenn nur zwei Personen ihre Plätze geändert haben. 
Wollte also eine solche Tischgesellschaft alle Tage anders 
sitzen, so brauchte sie über 3600 Millionen Jahre dazu, 
alle möglichen Anordnungen durchzusitzen; und selbst, 
wenn die 15 Personen im Stande wären, alle Secunde 
eine neue Ordnung einzunehmen, so würden sie ohne Unter- 
brechung über 41 000 Jahre daran arbeiten müssen, ehe 
sie alle denkbaren Platzverschiedenheiten durchprobirt 
hätten. Dieses Beispiel giebt vielleicht eine Ahnung von 
der Grösse der berechneten Zahl aller möglichen Boss- 
Puzzle-Aufgaben. 
Wer eine dieser Aufgaben zu lösen unternimmt, wird 
bald die ersten 12 Steine auf ihre richtigen Plätze durch 
Schieben bringen können. Dann aber wird er in der 
vierten Reihe eine der folgenden 6 Stellungen erhalten 
müssen: 
ala ale 
4) 13, 15, 14; 
2) 14, 15, 13; 
5) 14, 13, 15; 
3) 15, 13, 14; 
6) 15, 14, 13. 
Die Praxis wird dann Jedem bald zeigen, dass man 
das durch die erste Stellung angegebene Ziel auch bei 
der zweiten und dritten Stellung durch Mitbenutzung der 
Steine 9, 10, 11, 12 der dritten Reihe erreichen kann, 
und zwar nach mindestens 1Smaligem Rücken eines 
Steines, dass man aber bei der vierten, fünften und 
sechsten der 6 angegebenen Stellungen die geforderte 
reguläre Stellung nicht erreichen kann. Die Lösung 
einer solchen Aufgabe kann nur durch Betrug oder 
Taschenspielerei bewerkstelligt werden. Man gelangt 
nämlich immer dann zur Lösung, wenn man irgendwann, 
statt zu schieben, einmal zwei Steine ihre Plätze wech- 
seln lässt. 
Um der Theorie der Boss-Puzzle-Aufgaben näher 
treten zu können, gehen wir von folgenden einfachen 
Ueberlegungen aus. Unter „Zug“ im Boss-Puzzle-Spiel 
verstehen wir die Verschiebung eines Steines auf den be- 
nachbarten leeren Platz. Bewegen wir nun einen Stein 
von seinem anfänglichen Platze fort, schieben dann so, 
dass er weiter wandern kann, und lassen ihn nun so .be- 
liebige und beliebig unterbrochene Wanderungen aus- 
führen, aber derartig, dass er schliesslich einmal auf 
seinen alten Platz zurückkehrt, so hat der Stein immer 
eine gerade Anzahl von Zügen ausgeführt, gleichviel, 
