Nr. 35. 
welche Platz-Aenderungen die übrigen Steine dabei er- 
halten haben. Denn jeder Zug in horizontaler oder ver- 
tikaler Riehtung muss irgendwann und irgendwo einmal 
wieder durch eine parallele Verschiebung in entgegen- 
gesetzter Richtung rückgängig gemacht sein. Was 
hiermit von einem Stein als riehtig erkannt ist, muss auch 
für das leere Feld gelten, welches ja auch bei jedem Zuge 
horizontal oder vertikal um einen Schritt vorwärts oder rück- 
wärts wandert. Hieraus geht aber folgende Wahrheit hervor: 
„Wird eine Stellung der 15 Steine durch beliebig fort- 
gesetzte Verschiebung in eine andere Stellung übergeführt, 
bei welcher der leere Platz wieder da ist, wo er vorher 
war, so ist die Gesammtsumme aller der während 
der Ueberführung der einen Stellung in die andere aus- 
geführten Züge eine gerade Zahl. Bei jeder solchen 
Verschiebung kann man sich denken, dass der zuerst auf 
den leeren Platz unten rechts gerückte Stein nach ein- 
ander mit sämmtlichen sonst noch gezogenen Steinen den 
Platz wechselt. Beispielsweise ziehen wir, von der 
regulären Stellung ausgehend, nach einander die Steine: 
1208.1,3,02,.6,, 10, 14, 15,12, 
sodass wir als neue Stellung erhalten: 
ae 
De LO SEE 
Q-) 
fan 
He 
Bi 
ut 
[e2) 
Die vorgenommene Verschiebung können wir uns nun 
durch eine Vertauschungs-Folge ersetzt denken, wenn 
wir uns vorstellen, dass der leere Platz immer von dem 
zuerst gezogenen Stein 12 besetzt ist. Stein 12 tauscht 
dann zuerst mit S, dann mit 7, dann mit 3, mit 2, mit 6, 
mit 10, mit 14, endlich mit 15. Es sind also bei den 
10 Zügen S Platzwechsel vorgekommen, nämlich 2 Platz- 
wechsel weniger als Züge, weil das Hineinrücken der 12 
in den leeren Platz und das Entfernen von demselben 
keinen Tausch von Steinen veranlasst. So muss es aber 
bei jeder noch so complicirten Verschiebung sein; immer 
kann man sagen, dass der zuerst auf den leeren Platz 
gerückte Stein mit allen sonst noch gezogenen Steinen 
tauscht. Dabei ist die Zahl der gedachten Vertauschungen 
immer um 2 kleiner als die Zahl der Züge. Da nun die 
Zahl der Züge, wie schon oben eingesehen ist, eine gerade 
sein muss, eine um 2 verminderte gerade Zahl wieder 
gerade ist, so'ist auch die Zahl der vorgekommenen 
Vertauschungen eine gerade. Statt die Vertauschung 
mit Stein 12 zu beginnen, kann ich sie natürlich mit 
irgend einem der gezogenen Steine beginnen, z. B. mit 3. 
Es tauscht dann 5 mit 2, dann mit 6, mit 10, mit 14, 
mit 15, dann über das leere Feld schräg mit 12, damn 
mit 8, dann mit 7. Oft kehren Steine im Laufe der Ver- 
schiebungen wieder an ihre Plätze zurück. Da sie dazu 
eine gerade Zahl von Zügen brauchen, so bleibt die 
Zahl der Vertauschungen gerade, wenn man solche Ver- 
tauschungen, die aus rückkehrenden Steinen entstanden 
sind, nicht mitzählt. Zieht man z. B., von der regulären 
Stellung ausgehend, nach eimander die Steine 
15,14,210,011,.226.) 141, 10,14,15, 
so kann man, statt 15 mit 14, dann mit 10, mit 11, mit 7, 
mit 6, mit 11, mit 10, endlich mit 14 tauschen zu lassen, 
auch bloss 11 mit 7 und dann 11 mit 6 tauschen lassen, 
um die neue Stellung zu erzielen. Jedenfalls erhält man 
auch dann eine gerade Zahl von Vertauschungen. Wenn 
Naturwissenschaftliche Wochenschrift. al 
also zwei Stellungen durch Verschiebung aus einander 
hervorgehen, so kann man sie auch durch eine gerade 
Zahl von Vertauschungen zweier benachbarter Steine in 
einander überführen. Befolgt man dabei nun nicht gerade 
die aus der Verschiebung selbst resultirende Vertauschungs- 
Ordnung, sondern irgend welche andere, bei der man aber 
auch das Ziel erreicht, so hat man vielleicht mehr oder 
weniger Vertauschungen gemacht, jedenfalls aber eine 
gerade Anzahl mehr oder weniger, weil man eine gerade 
Anzahl von Vertauschungen vornehmen muss, um aus einer 
gewissen Anordnung von Dingen dieselbe Anordnung wieder 
zu erhalten. Hieraus kann man also die folgende Wahrheit 
schliessen: Ist eine alte Stellung der 15 Steine des Boss- 
Puzzle durch blosses Verschieben in eine neue übergeführt, 
bei welcher der leere Platz wieder auf sein altes Feld zu- 
rückgekehrt ist, so muss die Zahl der Vertauschungen, 
die man mit je zwei benachbarten Steinen vornehmen 
muss, um ebenfalls aus der alten Stellung die neue zu er- 
halten, gerade sein. 
Wenn man nun zwei nicht benachbarte Steine ihre 
Plätze wechseln lässt, z. B. bei der regulären Stellung 
2 und 11, so kann man diesen Tausch auch durch mehr- 
malige Vertauschung je zweier benachbarter Steine er- 
setzen. Man hat nämlich 2 mit 3, 2 mit 7, 2 mit 11 und 
dann nur noch 7 mit 11, 7 mit 2 die Plätze wechseln zu 
lassen. 
Man sieht also, dass die Vertauschung zweier nicht 
benachbarter Steine immer dadurch geleistet werden kann, 
dass man soviel Vertauschungen je zweier Nachbarsteine 
vornimmt, als die um 1 verminderte doppelte Anzahl der 
Züge beträgt, welche man von dem Platz des einen Steins 
zum Platz des andern Steins machen müsste. Wenn man 
also eine Vertauschung zweier nicht benachbarter Steine 
an die Stelle zweier benachbarter Steine setzt, so fügt 
man dadurch immer eine gerade Anzahl von Vertauschungen 
zweier benachbarter Steine hinzu. Dieses Resultat giebt 
im Verein mit der oben erkannten Walırheit das folgende 
wichtige Resultat: 
Wenn man zwei durch blosses Verschieben 
ineinander überführbare Stellungen der 15 Steine 
des Boss-Puzzle dadurch in einander überführt, 
dass man auf irgend welche Weise immer je zwei 
beliebige Steine mit einander vertauscht, so 
nimmt man stets eine gerade Zahl von Ver- 
tauschungen vor. 
Es wird zweckmässig sein, dieses Resultat durch 
einige Beispiele zu erhärten: 
1) Man gehe von der regulären Lage der Steine aus, 
schiebe auf den leeren Platz den Stein 12, auf den dann 
leer gewordenen Platz den Stein 11, auf den so erhaltenen 
leeren Platz den Stein 15 und auf dessen Platz den Stein 12. 
Dann kann man diese auch dadurch bewirken, dass man 
erst Stein 11 und 12 ihre Plätze wechseln lässt und darauf 
Stein 12 mit Stein 15 vertauscht. Man hat dann zwei, 
also eine gerade Zahl, von Vertauschungen vorgenommen. 
2) Man gehe wieder von der regulären Stellung aus, 
rücke auf den leeren Platz den Stein 15 und dann immer 
auf den jedesmal leer gewordenen Platz die Steine 
14,..10,/11, 7, 6, 11, 110, 14,15, 
Dann kann man die neue Stellung natürlich auch 
erreichen, wenn man den Stem 15 nach eimander mit 
14, 10, 11, 7, 6, 11, 10, 14 austauscht. So führt man 
5 Vertauschungen aus. Da jedoch die erste Vertauschung 
der Steine 15 und 14 durch die letzte von 14 und 15 
wieder rückgängig gemacht wird, und dasselbe dann für 
die zweite und vorletzte, sowie für die dritte und dritt- 
letzte Vertauschung gilt, so kann man statt durch S auch 
durch 3 mal 2 weniger, also nur durch 2 Vertauschungen 
