die neue Stellung erzielen. Man braucht nämlich nur 11 
mit 7 und dann 11 mit 6 den Platz wechseln zu lassen. 
3) Man gehe von der regulären Stellung aus und 
rücke auf den jedesmal leeren Platz die Steine 
12,,11,210,,;14,. 15,21D714,. 9,1295, 10,.14, 
9,210, 152er 
Dadurch erhält man als neue Stellung: 
Er 
OO) "I IMERERS 
IOIEI SERIES? 
13 15 14 | 
Diese neue Ordnung gebt aber auch aus der alten durch 
zwei, also durch eine gerade Zahl von Vertauschungen 
hervor, nämlich durch den Platzwechsel der Steine 9 und 10, 
sowie der Steine 14 und 15. 
4) Man verschiebe die Stellung 
ee er 12% SR 
Be eo 8 De 7 
in 
9 nt: 
134149110 15 41521 
z. B. durch die Züge 11, 10, 15, 12, 8, 7, 4, 3,2, 6,10, 11. 
Wie man nun auch versuchen mag, durch Vertauschung 
von Steinen aus der alten Stellung die neue zu erreichen, 
immer wird man eine gerade Zahl von Vertauschungen 
vorzunehmen haben; z. B. kann man die Steine 15 und 4, 
15 und 3, 15 und 10, dann 10 und 2, 10 und 6, dann 
S und 4, 8 und 12, endlich 7 und 4 ihre Plätze wechseln 
lassen. 
Aus unseren obigen Ueberlegungen folgt auch die 
Umkehrung des erhaltenen Resultats, die wir hier aus- 
sprechen und durch Beispiele verdeutlichen wollen: 
sine alte Stellung der 15 Steine des Boss- 
Puzzle ist in eine neue Stellung überführbar 
oder nieht, je nachdem die Anzahl der irgend 
wie vorgenommenen Vertauschungen, welche 
gleichfalls aus der alten Stellung die neue her- 
stellen können, gerade ausfällt oder nicht. 
Hierzu einige Beispiele: 
1) Die Preis-Aufgabe, welche 1880 im Elbpavillon zu 
Hamburg angeschlagen war (vergl. Einleitung), verlangte, 
die Stellung, bei weleher alle Steine bis 13 an ihren 
richtigen Plätzen waren, dagegen 15 und 14 vertauscht 
waren, in die reguläre Stellung überzuführen. Die Auf- 
gabe war unlösbar, weil eine Vertauschung zweier Steine 
(dasselbe bewirkt, und 1 eine ungerade Zahl ist. Aus dem- 
selben Grunde sind auch die beiden Aufgaben unlösbar, 
bei denen die Steine von 1 bis 12 an ihren richtigen 
Plätzen stehen, dann aber 14, 13, 15 oder 15, 14, 13 folgt. 
Dagegen sind lösbar die beiden Aufgaben, bei denen die 
Steine der ersten drei Reihen richtig stehen, dann aber 
14, 15, 13 oder 15, 13, 14 
folgt. Denn hier erreicht man durch zwei Vertauschungen 
die reguläre Stellung 13, 14, 15, und 2 ist eine gerade Zahl. 
2) Man hat sich die Aufgabe gestellt, durch Ver- 
schieben die erste der beiden folgenden Stellungen in die 
andere überzuführen; 
Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 
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977107, 11512 6 :15 11 
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Unsere oben gefundene Regel entscheidet sofort dar- 
über, ob es möglich oder unmöglieh ist. Man schiebe 
zunächst so, dass der leere Platz bei beiden Stellungen 
an demselben Orte ist, also etwa 12 auf den leeren Platz 
und auf den dadurch leer gewordenen Platz den Stein 11. 
Darauf kann man etwa so tauschen: 4 mit 1, 2 mit 3, 
9 mit 6, 15 mit 7, 14 mit 8, 13 mit 9, 12 mit 10, 14 mit 12, 
15 mit 13, 14 mit 15. Da man durch 10, also durch eine 
gerade Zahl von Vertauschungen auch zum Ziel gelangen 
kann, so ist die gestellte Aufgabe lösbar. 
3) Um zu prüfen, ob man die Stellung: 
A u, a 
to (a RL) 
27109 
5 14 1 
in die reguläre verschieben kann, schiebe man 13, 14, 15 
nach links, so dass der leere Platz an seine richtige Stelle 
kommt. Dann erkennt man sofort, dass man nur die 
Steine 4 und 1, 3 und 2, 8 und 5, 7 und 6, 12 und 9, 
11 und 10, 13 und 15 zu vertauschen braucht, um die 
reguläre Stellung zu erzielen. Da dies 7, also eine un- 
gerade Zahl von Vertauschungen sind, so ist die Aufgabe 
unlösbar. 
Aus den beiden oben als richtig erkannten Regeln 
folgt auch: 1) dass zwei Stellungen, welche sich durch Ver- 
schieben in eine und dieselbe dritte Stellung bringen 
lassen, in einander verschoben werden können; 2) dass 
zwei Stellungen, welche sich beide nicht durch Verschieben 
in eine und dieselbe dritte Stellung überführen lassen, 
in einander verschiebbar sind; 3) dass zwei Stellungen 
nicht in einander verschoben werden können, wenn sich 
die eine in dieselbe dritte Stellung überführen lässt, nicht 
aber die andere. Ebenso erkennt man nun leicht, dass 
Jede nicht in die reguläre Stellung verschiebbare Stellung 
zu einer doch so verschiebbaren wird, wenn man einmal 
oder eine ungerade Anzahl Male entweder zwei Steine 
vertauscht oder, was auf dasselbe hinauskommt, einen Stein 
oder eine ungerade Anzahl von Steinen überspringt. 
Wenn bei einer Boss-Puzzle-Aufgabe, welche die Ver- 
schiebung in die reguläre Stellung verlangt, viele Steine 
zufällig auf ihren riehtigen Plätzen liegen, so wird man 
schnell die Zahl der Vertauschungen übersehen, die vor- 
zunehmen sind, um die übrigen Steine richtig zu ordnen. 
Fällt jene Zahl gerade aus, so ist die Aufgabe lösbar, 
fällt sie ungerade aus, unlösbar. Wenn aber bei einer 
complieirteren Aufgabe sehr wenige oder gar kein Stein 
an seinem richtigen Platze liegt, so hätte man viele, 
höchstens freilich 15, Vertauschungen vorzunehmen, um 
die Entscheidung über die Lösbarkeit treffen zu können. 
Man kann aber in solchem Falle die Vertauschungen 
ordnungsmässig in Reihen zusammenfassen und so 
übersichtlicher gestalten, wie folgendes Beispiel zeigt: Es 
sei zu prüfen, ob die erste der beiden folgenden Stellungen 
in die zweite reguläre verschiebbar ist: 
