in 
Da auf dem ersten Felde oben links der Stein 2 
liegt, der Stein 1 aber liegen soll, so vertausche ich die 
beiden, dann lege ich Stein 2 an die Stelle, wo 4 liegt, 
den Stein 4 wieder dahin, wohin er gehört, also auf das 
Feld, wo Stein S liegt, dann werden in derselben Weise 
die Steine 12, 7, 10, 14, 15, 9 herausgenommen, und 
schliesslich wird der Stein 9 auf den Platz gelegt, wo 
anfänglich der Stein 1 lag. Auf diese Weise bilden die 
Steine 1, 2,4, 8, 12, 7,10, 14, 13,9 einen Vertauschungs- 
kreis, der aus 9 Vertauschungen von 10 Steinen besteht. 
Ebenso bilden die Steine 5 und 6 einen zweiten Kreis, 
der aus einer Vertauschung von zwei Steinen besteht. 
Endlich bleiben noch drei Steine, nämlich 5, 11, 15, übrig, 
die schon auf ihren richtigen Plätzen liegen. Man kann 
also sagen, dass jeder dieser Steine einen Kreis von OÖ Ver- 
tauschungen und einem Steine darstellt. Wir erkennen 
dabei, dass jeder solcher Vertauschungskreis einen Stein 
mehr umfasst, als Vertauschungen darin vorkommen. In 
unserem Beispiel haben wir 5 "Vertauschungskreise, also 
im ganzen 5 Steine mehr als Vertauschungen. F olglich 
ist immer die Gesammtzahl der Vertauschungen 
gleich dem Ueberschuss der Steinzahl übe " die 
Zahl der Vertauschungskreise, d. h. bei uns ent 
15 weniger 5, oder 10. Da 10 gerade ist, so ist die 
Aufgabe lösbar. So haben wir die folgende Hauptregel 
gewonnen: 
Eine Boss-Puzzle-Stellung ist in eine andere 
verschiebbar oder nicht, je nachdem der Ueber- 
schuss der Steinzahl (beim gewöhnlichen Boss- 
Puzzle 15)über die Zahl der Vertauschungskreise, 
die man durchwandern muss, um die eine Stel- 
lung in die andere überzuführen, gerade aus- 
fällt oder ungerade. 
Diese Hauptregel ermöglicht die denkbar schnellste 
Entscheidung über die Lösbarkeit von Boss- Puzzle-Auf- 
gaben. Man verfährt behufs dessen am zweckmässigsten, 
wenn man sich die beiden Stellungen, die in einander 
verschoben werden sollen, der Reihe der Zahlen nach, 
unter einander schreibt. Dann kann man mit dem Auge 
schnell und sicher die Vertauschungskreise erkennen, und 
demgemäss nach dem obigen Satze die Entscheidung 
treffen. Dies verdeutlichen folgende Beispiele: 
1) Es sei zu prüfen, ob die erste der beiden folgen- 
den Stellungen in die zweite reguläre verschiebbar ist: 
_ = 
= o S7 
fun 
> 
an 
a 
F= 
Dann schreibe man die beiden Stellungen in folgen- 
der Weise: 
ıs[ı5\2| 9 0\7 
11) 12 131415 
Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 3 
Nun erkennt man leicht die folgenden Vertauschungs- 
kreise: j 
DE26, 1, 10, Ki; 7, &, 11.9278; 
213, 12, 9, 18 
5) 5. 
Die Zahl 3 der Vertauschungskreise, abgezogen von 
der Steinzahl 15, giebt die gerade Zahl 12; also sind die 
beiden Stellungen in einander verschiebbar. 
2) Man habe zu prüfen, ob die beiden folgenden Stel- 
lungen in einander verschiebbar sind: 
0) 
© 
= 
cs 
[e>) 
und 
7 9 12 2 7 1 12 
I 
oe 
un 
| 
Man schreibe die in gleichliegenden Feldern stehenden 
Zahlen unter einander, um die Vertauschungskreise leichter 
zu erkennen. Also: 
la lıslıla Islslelalz Is [ı2laulıs 10 
1305 “ua bass 2a 7 LS 10,9 
| 
Man erkennt nun leicht die folgenden Vertauschungs- 
kreise: 
ae ia all? 
2) 5, 2, Fi 1; . 
Bl Sb teh (00 
4) T; 
5) 12. 
Wir haben also 5 Vertauschungskreise bei 15 Steinen, 
15 minus 5 giebt eine gerade Zahl. Daher lautet die 
Entscheidung, dass die vorgelegten Stellungen in einander 
verschiebbar sind. 
Unsere Regel giebt uns auch die Entscheidung dar- 
über an die Hand, ‘ob bei einer vorliegenden Stellung des 
Boss- Puzzle die Steine in richtige Reihenfolge gebracht 
werden können, ohne dass gerade die Stellung erzielt 
wird, die oben als regulär bezeichnet ist. Es giebt im 
ganzen 8 Stellungen, bei denen man sagen kann, dass die 
Zahlen auf den Steinen in natürlicher Reihenfolge stehen; 
und unsere Regel ergiebt dann leicht, dass diese ) Stel. 
lungen in zwei Gruppen von je 4 so zerfallen, dass die 
vier Stellungen jeder Gruppe in einander verschiebbar 
sind, dass aber keine Stellung einer Gruppe in eine Stel- 
lung der andern verschiebbar ist. Die beiden Gruppen 
sind folgende: 
GrupperÄ. 
Te a] 
Ben BUG, oT 
3. 10 11,12 3. = 1 8 
3,14. .| 8 
ic) 
©. 
Co > 
Tr — — 
m 
fan 
1 
fan 
He 
_ 
[SS 
