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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 
Nr. 35. 
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Da jede beliebige Stellung, die nicht in eine bei 
Gruppe A angegebene Stellung durch Verschieben gebracht 
werden kann, nothwendig in eine Stellung der Gruppe B 
verschiebbar sein muss, so kann man jede Boss-Puzzle- 
Aufgabe lösbar nennen, wenn man unter „lösen“ versteht, 
die gegebene Stellung in irgend eine der obigen acht 
Stellungen zu verschieben. Da zwei Stellungen derGruppeB 
aus der regulären Stellung hervorgehen, indem man die- 
selbe in einem Spiegel betrachtet, der senkrecht auf der 
Ebene des Boss-Puzzle-Quadrats und parallel einer Seite 
desselben ist, so kann man auch sagen, dass jede Stellung 
der 15 Steine durch Verschieben in eine Stellung gebracht 
werden kann, die entweder selbst regulär ist, oder, in 
einem Spiegel betrachtet, regulär erscheint. 
Bisher haben wir das Boss-Puzzle-Spiel immer nur 
unter der Annahme betrachtet, dass 15 Steine in einem 
Kästchen liegen, der für 4 mal 4 Steine Platz hat. Es 
lassen sich jedoch alle obigen Erörterungen ohne Weiteres 
auf den Fall ausdehnen, dass das quadratische oder recht- 
eckige Kästchen für beliebig viele Steine Platz hat, und 
einen Stein weniger wirklich enthält. Namentlich gilt für 
diesen allgemeinen Fall auch die oben bewiesene Haupt- 
regel ganz unverändert, wie folgende Beispiele zeigen: 
1) Es sei zu prüfen, ob verschoben werden kann: 
5 2 8 l 2 B) 
3 7 6 ın 4 5 6 
1 4 7 {>} 
l 
1 2 Su 9 BT 
I 1 ) 
ergeben sich vier Vertauschungskreise, nämlieh: 
1) 1,5,7;.2)2; 3) 3, 8,4; 4).6. 
Da die Steinzahl S beträgt, und 8 weniger 4 eine 
gerade Zahl ist, so sind die beiden Stellungen in einander 
verschiebbar. 
2) Es sei zu entscheiden, ob die beiden folgenden 
Stellungen durch Schieben in einander übergeführt werden 
können: 
Iiw22 
co 
40 506 
ES | 
[02] 
De} 
105293 
Schiebt man bei der zweiten Stellung die Steine 10 
und 9 beide nach links, damit der leere Platz bei beiden 
Stellungen gleich liegt, so hat man zu schreiben: 
| ER I Hi] | | j 
ıl2 45 6| 189 10111112 13115 16 18 1920 
219 S 12|7|20 s100 
6) 
17 
11 
Bar klekeln. 
Hieraus gehen die folgenden 4 Vertauschungskreise 
hervor: 
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4, 16, 20, 9, 5, 15, 7, 14, 
11, 13, 19, 10, 18, 8, 14, 12, 6. 
Da 20 weniger 4 eine gerade Zahl ergiebt, so ist die 
gestellte Frage mit ja zu beantworten. 
Zum Schluss wollen wir noch kurz eine Boss-Puzzle- 
Spielerei besprechen, welche bald nach Erfindung des 
gewöhnlichen Boss-Puzzle-Spiels auftauchte und auch das 
Interesse und die Geduld vieler Menschen in Anspruch 
nahm. Man brachte nämlich das Spiel in Verbindung mit 
dem Problem®) der magischen Quadrate und verlangte, 
die reguläre Stellung der 15 Steine derartig zu verschieben, 
dass, wenn man sich das leere Feld durch die Zahl 16 
besetzt denkt,» die Summe der 4 Zahlen in jeder hori- 
zontalen, verticalen oder diagonalen Richtung immer gleich 
ausfällt. Dieses Problem möchte der Verfasser dahin ver- 
bessern, dass man sich das leere Feld gar nicht besetzt 
denke, und demgemäss es beim Addiren nicht mitrechne. 
Die Lösung des so verbesserten Problems ist im wesent- 
lichen ganz dieselbe, wie die Lösung des ursprünglich 
gestellten. Am einfachsten entsteht ein magisches Quadrat 
von 16 mit den Zahlen von O bis 15, indem man diese 
Zahlen sich der Reihe nach in die 16 Felder geschrieben 
denkt, bei den 8 Feldern aber, die nieht die Mitte und 
die Ecken bilden, die Zahl wählt, welehe sich ergiebt, 
wenn man die eigentlich hineingehörige von 15 abzieht. 
Demnach handelt es sich darum, etwa die beiden fol- 
genden Stellungen in einander überzuführen: 
We 
TEE AUGE 
in 
Ira FO 5 6 Del 
152 14715 a lay ak! 
Das zweite Quadrat erfüllt die gestellte Bedingung, 
indem sich immer die Summe 30 ergiebt, gleichviel, ob 
man horizontal, vertical oder diagonal addirt. Es fragt 
sich aber, ob die Ueberführung der einen Stellung in die 
andere durch Verschieben möglich ist. Unsere Haupt- 
regel verneint diese Frage, da es 4 Vertauschungskreise 
giebt. Hieraus können wir aber schliessen, dass sich die 
*) Dieses Problem ist in dem vorigen Artikel („Naturw. 
Wochenschr.“ vom 28. Mai und 4. Juni) behandelt. 
