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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 
durch a- b bezeichnet werde, allemal dann Addition heissen soll, wenn 
erstlich das commutative Gesetz a-b—=b-a, zweitens das asso- 
ciative Gesetz (@a-5)-c—=a@.(b.c) und wenn drittens die Aufgabe 
a0 —b für x stets eine eindeutige Lösung liefert. Das Ver- 
knüpfungszeichen für die Addition soll + sein. Eine zweite 
Verknüpfungsart (:) soll allemal dann eine Multiplieation heissen, 
wenn (a +b):e=a:c+tb:eundauch e!a+b)=ec:a+te:b 
ist. Auch hier wird das algebraische Zeichen für die Verknüpfung | 
gewählt. 
Dann wird genau definirt, dass unter der Verknüpfung zweier | 
Strecken « und $ zu einer dritten Strecke y, die dritte Seite 
eines Dreiecks verstanden werden soll, dessen andere Seiten nach ' 
Nachdem | 
Grösse und Richtung eben die Strecken « und £ sind. 
dann gezeigt ist, dass diese Verknüpfung alle für die Addition 
festgesetzten Merkmale hat, wird 
Tee 
gesetzt. 
handelt. Zunächst erscheint schon die Definition der Punktgrösse 
für einen einzelnen Punkt sehr äusserlich. Es wird gesagt, wenn 
n Punkte in einem Punkt A zusammenfallen, so soll die Ge- 
sammtheit dieser Punkte eine Punktgrösse heissen, welehe durch 
nA dargestellt wird. Dieses Zeichen ist also nur für ganze posi- 
tive Zahlen n, nieht aber für negative oder gebrochene Zahlen 
definirt. Was unter der Summe von Punktgrössen zu verstehen 
ist, wird gar nicht deutlich definirt. Es wird nur gesagt! 
„Weil Gleiches zu Gleichem addirt Gleiches giebt, so wird die 
Summe der Punktgrössen eines Punktvereins eine gewisse Punkt- 
grösse sein.“ i 
Sind aA, bb, cC. .. die zu addirenden Punktgrössen, ist zS 
das näher zu bestimmende Ergebniss, so muss die Gleichung 
aA+bB+cC...=xS bestehen. 
Wenn nun aber keine besondere Voraussetzung über den 
Sinn der Addition gemacht wird, so kann sie zunächst nur eine 
rein formale Bedeutung haben. Sie sagt dann nichts weiter als 
das gleichzeitige Vorhandensein der zu addirenden Elemente aus, 
und die Summe ist dann nur ein abgekürzter und zusammen- 
fassender Ausdruck für die Gesammtheit dieser Elemente. Zwar 
kann auch die so aufgefasste Summe mit Hülfe der Formeln 
a+b=b+a und (a +5b)+c—=a-+(b-+c) umgebildet werden, 
aber diese Umgestaltungen sind rein formaler Natur. In welche 
Gestalt auch immer die in Frage stehende Summe mit Hülfe der 
angeführten Gleichungen gebracht werden möge, nie sagt sie 
etwas anderes als das Vorhandensein der von vornherein ge- 
gebenen Elemente aus. Deshalb ist die Wendung, vermöge 
welcher Herr Kraft die Summe eines Vereins von Punkt- 
grössen zu einer einzelnen Punktgrösse zusammenfasst, offenbar 
unzulässig. 
Die nähere Bestimmung der einzelnen Punktgrösse, welche 
die Summe darstellen soll, gelingt nur deshalb, weil unter der 
Form ungerechtfertigter Schlüsse dasjenige eingeführt wird, was 
als Erklärung an die Spitze der ganzen Entwickelung gestellt 
werden musste, nämlich der Begriff der Aequivalenz nicht identi- 
scher Vereine von Punktgrössen. 
Im zweiten Kapitel kommt der sogenaunte Drehungsfaetor 
zur Sprache, dessen Einführung auf eine recht äusserliche Weise 
begründet wird. Von der Thatsache ausgehend, dass die Drehung 
einer Strecke um einen gestreckten Winkel in der Wirkung mit 
der Hinzufügung des Factors — 1 identisch ist, wirft Herr Kraft 
ohne weitere Ausführung die Frage auf: Welcher Factor & dreht 
eine Strecke « aus der Anfangslage um einen rechten Winkel? 
Natürlich wird ? gefunden. Nachdem dann für die Winkel ı, welche 
. ler 
Vielfache von — sind, das Resultat der Drehung durch 
2w 
i”« 
dargestellt ist, wird dieses Resultat ohne weitere Begründung auf 
beliebige Winkel übertragen. Im ersten Theile des dritten 
Kapitels, welcher die äussere Multiplieation der Streeken be- 
handelt, schliesst sich Herr Kraft zuerst wieder etwas näher an 
Grassmann an. Es wird zunächst gezeigt, dass die Verknüpfung 
«. ß zweier Streeken zu dem Inhalt eines Parallelogramms, welcher 
je nach dem Sinne der von ß nach @ auszuführenden Drehung 
als positiv oder negativ anzusehen ist, so lange völlig distributiv 
bezüglich der Streckenaddition ist, als alles in einer Ebene bleibt. 
Ohne Zweifel ist also die in Frage stehende Operation für den 
Fall, dass alle in Betracht kommenden Linien und Punkte in 
einer Ebene liegen, als Multiplieation zu betrachten. 
Herr Kraft überträgt nun aber, ohne irgend ein Wort der 
Begründung zu verlieren, die bis dahin nur unter der angegebenen, 
beschränkenden Voraussetzung gültige Formel (« +) = «ß 
+ ef auch auf den Fall, dass die drei Strecken «,,«s,ß nicht 
in einer Ebene liegen. Das richtige Verfahren wäre offenbar 
Ganz anders verfährt Herr Kraft in dem zweiten Abschnitt 
des ersten Kapitels, welcher von der Summation der Punktgrössen | 
Nr. 42. 
gewesen, zunächst den noch nicht definirten Begriff der Summe 
zweier nicht in einer Ebene liegenden Flächenstücke so zu be- 
stimmen, dass die Formel (@, + «,)-?=«-ß+ «-ß für beliebige 
gegenseitige Lage der Strecken richtig wird, und dann aus der 
jetzt allgemein gültigen Formel den multiplicativen Charakter der 
Verknüpfung «-ß für den ganzen Raum zu schliessen, 
Das äussere Produkt von Punktgrössen führt Herr Kraft durch 
die Bemerkung ein, dass es dieselbe Eigenschaft haben müsse, 
wie das äussere Produkt aus zwei Strecken. Vermittelst einiger 
rechnerischer Wendungen, welche aus dieser Bemerkung fliessen, 
wird dann das Produkt aus zwei Punkten in ein solches aus einem 
Punkt und einer Strecke verwandelt und dann von diesem Pro- 
dukt ausgesagt: „es fällt mit dieser Strecke zusammen und heisst 
zur Unterscheidung von einer Strecke ein Linientheil.“ 
Uns scheint, dass dieses Verfahren sowohl an Strenge wie 
auch an Verständlichkeit hinter dem von Grassmann befolgten 
zurücksteht. Zunächst kann man gegen die Art, wie Herr Kraft 
das äussere Produkt der Punktgrössen einführt, das Bedenken er- 
heben, ob es überhaupt eine solche Verknüpfung zweier Punkt- 
rössen giebt, auf welche die für das äussere Produkt zweier 
Airechen eier Rechenregeln anzuwenden sind. Darn aber 
sieht man auch gar nicht ein, warum die Bedeutung des Pro- 
duktes der Linientheil sein soll, d. h. nach blosser rechnerischer 
Umwandlung durch Unterdrückung des einen Faktors gewonnen 
werden soll. Diese Schwierigkeiten fallen fort, wenn man von 
der Verknüpfung zweier Punktgrössen zu einer Streeke ausgeht und 
zeigt, dass diese Verknüpfung die Eigenschaften des äusseren 
Productes besitzt. j 
Das vierte Kapitel behandelt die Multiplieation von geometri- 
Gebilden höherer Stufe. Nachdem die in Betracht kommenden 
Regeln entwickelt sind, zeigt der Verfasser ihre Anwendungen an 
der Behandlung der Linien und Flächen zweiter Ordnung. Ein 
zwar kurzes aber recht übersichtliches Kapitel über die Elemente 
der Determinante schliesst diesen Abschnitt. Den Schluss des 
ganzen Werkes bildet ein kurzes Kapitel über die Quaternionen- 
rechnung. Fritz Kötter. 
Neue Denkschriften der allgemeinen schweizerischen Ge- 
sellschaft für die gesammten Naturwissenschaften. Band 
XXXII, Abtheilung I. Comm.-Verlag von H. Georg in Basel, 
Genf und Lyon. 1893. — Das stattliche Heft enthält drei um- 
fangreiche Arbeiten, und zwar 1) Dr. Robert Emden, Ueber 
das Gletscherkorn (mit fünf Tafeln), deren Hauptresultat 
Verfasser in die folgenden Worte zusammenfasst! „Die Gletscher- 
kornbildung ist keine Eigenthümlichkeit des Gletschereises, son- 
dern eine durch einen molecularen Umkrystallisationsprocess er- 
klärbare Eigenschaft eines jeden Eises, und hat deshalb mit dem 
Gletscher als solehem nichts zu thun, und die Bewegung des 
Gletschers kann ohne dieselbe zustande kommen. Gletscherkorn- 
bildung und Gletscher haben keine wesentliche wechselseitige Be- 
deutung.“ — Die zweite Abhandlung ist eine von S. Schwen- 
dener mit einer Vorbemerkung und von ©. Cramer mit einer 
Schlussbemerkung versehene nachgelassene Arbeit des berühmten 
Botanikers Karl Nägeli, „Ueber oligodynamische Er- 
scheinungen in lebenden Zellen.“ Ueber diese Arbeit findet 
sich Ausführliches in dieser Nummer. — Die dritte Arbeit (mit 
drei Tafeln) aus der Feder des Professors E. D. Fischer bringt 
„Neue Untersuchungen zur vergleichenden Entwicke- 
lung und Systematik der Phalloideen.“ 
Jahrbuch für Photographie und Reproductionstechnik für 
das Jahr 1893, herausgegeben von Josef Maria Eder. 7. Jahr- 
gang. Mit 145 Holzschnitten und Zinkotypien und 34 artistischen 
Tafeln. Wilhelm Knapp in Halle a. S. 1893. — Preis 8 Mk. — 
Für den Photographen von Fach und jeden, der sich eingehender 
mit der photographischen Praxis beschäftigt, ist das „Jahrbuch 
für Photographie“ von grossem Werth. Wir finden in demselben 
eine grosse Zahl Original-Aufsätze, jeinen Bericht über die Fort- 
schritte der Photographie und Reproductionsteehnik in den Jahren 
1891 und 1892, ein Verzeichniss der in Oesterreich und im Deut- 
schen Reich verliehenen Patente und eine Litteraturliste. Auch 
die Naturforschung verfolgt mit Interesse die Fortschritte auf dem 
Gebiete der photographischen Praxis; werden jener doch von 
dieser wichtige Dienste geleistet. So finden wir unter den Illustra- 
tions-Tafeln mikro-photographische Aufnahmen von Theilen der 
Amphipleura pellueida, die erläutern, wie ausserordentlich brauch- 
bar die Photographie auch für die Darstellung mikroskopischer 
Objecte ist. 
Antonio della Valle, Gammarini del golfo di Napoli. Berlin. 
150 M. 
Bardey, Dr. Ernst, Algebraische Gleichungen nebst den Resul- 
taten und den Methoden zu ihrer Auflösung. Leipzig. 6 M. 
Bartels, San.-R. Dr. Max, Die Mediein der Naturvölker, Leipzig. 
11 M. 
