34 Naturwissenschaftliche Wochenschrift. Nr. 3. 
A Er en 1 Besserer or Ne NE ee 
sammelten Werke wurden von Heinrich Weber und 
Dedekind zuerst 1876 herausgegeben und liegen bereits 
in zweiter Auflage vor. (Verlag von B. G. Teubner, 
Leipzig.) 
Die grosse Wirkung, welche von Riemann ausge- 
gangen ist und fortwährend ausgeht, ist — wie Herr 
F. Klein in seinem Vortrage betont — einzig eine Folge 
der Eigenartigkeit und selbstverständlich der ein- 
dringenden Kraft seiner mathematischen Betrachtungen. 
Durch seine eingehenden physikalischen Studien angeregt, 
aufgewachsen unter Gauss und Wilhelm Weber, beein- 
flusst von der Herbart’schen Philosophie, hat Riemann 
immer wieder daran gearbeitet, in mathematischer Form 
eine einheitliche Formulirung der sämmtlichen Natur- 
erscheinungen zu Grunde liegenden Gesetze zu finden. 
Diese Untersuchungen liegen nur bruchstückweise vor; 
es liegt diesen verschiedenen Ansätzen die Annahme zu 
‚Grunde, dass der Raum von einer continuirlich ausge- 
breiteten Flüssigkeit erfüllt ist, welche gleichzeitig der 
Träger der optischen, wie der elektrischen und der 
Gravitationserscheinungen ist. Wir finden hier also die 
Grundanschauung der Maxwell’schen elektromagnetischen 
Liehttheorie vor. Der Vortragende betont, dass eben 
hier die Quelle von Riemann’s rein mathema- 
tischen Entwickelungen liegt, es wird hervor- 
gehoben, dass Riemann im Gebiete der Mathe- 
matik und Faraday im Gebiete der Physik 
parallel stehen, nicht nur in Bezug auf den quali- 
tativen Inhalt der beiderseitigen Gedankengänge, sondern 
auch in Betreff der Wichtigkeit der von beiden Forschern 
erreichten Resultate. 
Am innigsten ist Riemann’s Name mit der Functions- 
theorie complexer Variabler verbunden; demgemäss wendet 
sich der Vortrag auch in erster Linie dieser Thätigkeit 
Riemann’s zu. Es wird geschildert, wie bei der Betrach- 
tung von Funetionen einer zweitheiligen Variablen = + yi, 
mit der so gerechnet wird, dass man für ? allemal — 1 
einträgt, die Eigenschaften der Funetionen einfacher Va- 
riabeln in viel höherem Grade verständlich werden, als 
ohne solche Maassnahme. Riemann drückt dies so aus: 
es tritt beim Uebergange zu complexen Werthen 
eine sonst versteckt bleibende Harmonie und 
Regelmässigkeit hervor. 
Zwar hat schon Gauss zahlreiche Entdeckungen in 
diesem Gebiete antieipirt, ohne indessen etwas darüber 
zu veröffentlichen; als eigentlicher Begründer dieser 
Theorie der Functionen complexer Variabeln ist Cauchy 
zu betrachten. Aber erst in Deutschland erhielt sie ihr 
modernes Gepräge durch die gleichzeitigen Bestrebungen 
von Riemann und Weierstrass. Während Weierstrass 
die Funetionen complexer Variabeln analytisch durch die 
Potenzreihen definirt, nach Möglichkeit geometrische Hilfs- 
mittel vermeidet und die grösste Strenge der Beweis- 
führung erstrebt, beginnt Riemann mit gewissen Differen- 
tialgleiehungen, denen jede Function f(& + iy) = u+ iv 
genügt. Die einzelnen Bestandtheile « und v» der Func- 
tion erscheinen dann als Potentiale in dem Gebiete 
der beiden Veränderlichen x und ,, so dass man Riemann’s 
Entwiekelungen dahin bezeichnen kann, dass er auf 
diese einzelnen Bestandtheile die Grundsätze 
der Potentialtheorie zur Geltung bringt. Sein 
Ausgangspunkt liegt also auf dem Gebiete der mathe- 
matischen Physik. Als speeifische Leistung von Riemann 
hebt der Vortrag in diesem Zusammenhange die Tendenz 
hervor, der Potentialtheorie eine grundlegende Bedeutung 
für die gesammte Mathematik zu geben; sodann aber 
auch die geometrischen Vorstellungsweisen. Es wird des 
Weiteren besonders die Riemann’sche Fläche charakterisirt 
als das Mittel, um die mehrdeutigen Functionen einer 
complexen Veränderliehen in ihrem Verlaufe zu veran- 
schaulichen und zu verstehen. 
Alle diese Hilfsmittel, welche Riemann von der physi- 
kalischen Anschauung aus für die Zwecke der reinen 
Mathematik geschaffen hat, sind rückwärts für die mathe- 
matische Physik von der grössten Bedeutung geworden. 
In besonders schöner Art sind die Riemann’schen Vor- 
stellungsweisen in der Theorie der Minimalflächen zur 
Geltung gekommen. Diese letzteren Untersuchungen sind 
erst nach Riemann’s Tode 1867 veröffentlicht worden, 
ziemlich gleichzeitig mit den Weierstrass’schen Unter- 
suchungen über denselben Gegenstand. 
Herr Prof. Klein wendet sich nun zu der Haupt- 
bedeutung der funetionentheoretischen Methoden Riemann’s, 
die zweifellos auf dem Gebiete der reinen Mathematik 
liegt. „Die Weiterbildung der reinen Mathematik“, so führt 
er aus, „erscheint dem Fernerstehenden vielleicht als etwas 
ganz Willkürliches, weil die Concentration auf einen von 
Haus aus gegebenen bestimmten Gegenstand wegfällt. 
Und dennoch giebt es einen Regulator, der in beschränk- 
terem Sinne innerhalb aller anderen Disciplinen wohl- 
bekannt ist — die historische Continuität: Die 
reine Mathematik wächst, indem man alte Pro- 
bleme mit neuen Methoden durchdenkt. In dem 
Maasse, wie wir die früheren Aufgaben besser 
verstehen, bieten sieh neue von selbst.“ Zu Be- 
ginn seiner Laufbahn traten Riemann besonders drei Func- 
tionselassen entgegen: die algebraischen, die elliptischen 
und diejenigen Functionen, welche mit der Gauss’schen 
hypergeometrischen Reihe zusammenhängen. „Die Rie- 
mann’sche Leistung kann nun am kürzesten dahin be- 
zeichnet werden, dass er für eine jede dieser drei Func- 
tionsclassen ganz neue Resultate und neue Auffassungen 
gefunden hat, welche bis heute fortschreitend die Quelle 
nachhaltigster Anregung geblieben sind.“ 
Als einer isolirt stehenden funetionentheoretischen 
Untersuchung gedenkt der Vortrag auch kurz der Rie- 
mann’schen Arbeit über das Gesetz der Vertheilung der 
Primzahlen innerhalb der natürlichen Zahlenreihe; es ist 
dies ein Beispiel, wie merkwürdig die einzelnen Theile 
der höheren Mathematik zusammenhängen, indem hier 
ein Problem, welches in die Elemente der Zahlenlehre 
zu gehören scheint, aus den Entwiekelungen der feinsten 
funetionentheoretischen Fragen eine ungeahnte Förderung 
erfährt. 
Die übrigen Arbeiten Riemann’s gehören keinem zu- 
sammenhängenden Gebiete an, wie diejenigen der Func- 
tionstheorie, aber er gelangt darin zu bemerkenswerthen 
Resultaten, und diese Einzeluntersuchungen lassen die 
allgemeine Auffassung Riemann’s erkennen; sie enthalten 
zugleich das Arbeitsprogramm, das er auszuführen ge- 
dachte. Die Theorie der Funetionen stellt nur ein Bei- 
spiel für eine analoge Behandlung aller anderen physi- 
kalischen Probleme dar, so dass es sich also um nichts 
geringeres handelt, als eine systematische Neube- 
gsründung der Integrationsmethoden der Mecha- 
nik und mathematischen Physik, eine Aufgabe, die 
in letzter Zeit mit besonderem Erfolge in Angriff ge- 
nommen worden ist. Riemann hat dies nur an einem 
einzigen Problem eingehender ausgeführt, nämlich in der 
Abhandlung über die Fortpflanzung ebener Luftwellen 
von endlicher Schwingungsweite, 1860. 
Es wird nun in dem Vortrage der Entwurf charak- 
terisirt „über die Hypothesen, welche der Geometrie zu 
Grunde liegen“. Auf Grund dieser Schritt habilitirte sich 
Riemann 1854 im Alter von 23 Jahren. Die der Geo- 
metrie zu Grunde liegenden Hypothesen haben besonders 
durch Helmholtz die gebührende allgemeine Beachtung ge- 
funden; Riemann sucht die Eigenschaften der Dinge aus 
