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A heisse der Bruch Z dividirt durch A. Naturgemäss 
kann 4 nicht grösser als 1 sein. A ist Null, wenn der 
Zeitraum zwischen den beiden Zeitpunkten grösser ist, als 
das Maximum der Lebensdauer eines Individuums der be- 
treffenden Lebensgenossenschaft. 
v heisse der Vermehrungsfaetor (siehe oben) für die 
beiden in Vergleich gezogenen Zeitpunkte. 
w heisse der Durchselmitt der Zahlen, welche an- 
geben, wieviel Alnen von jedem am zweiten Zeitpunkt 
lebenden Individuum am ersten Zeitpunkt gelebt haben. 
Aü,5 Ay, Ag, -.. bezeichne die Anzahl derjenigen 
unter den A am früheren Zeitpunkt lebenden Individuen, 
von deren jedem am späteren Zeitpunkt beziehungsweise 
0, 1, 2,... Nachkommen leben, die am früheren Zeit- 
punkt noch nicht lebten. 
Ip I, Is, ».. bezeiehne die Anzahl derjenigen unter 
den L am früheren Zeitpunkt lebenden, und den späteren 
Zeitpunkt auch noch erlebenden Individuen, von deren 
jedem am späteren Zeitpunkt beziehungsweise 0, 1, 2,... 
Nachkommen leben, die am früheren Zeitpunkt noch nicht 
lebten. 
to, &, &, . . . bezeichne die Anzahl derjenigen unter 
den 7’ am früheren Zeitpunkt lebenden, aber den späteren 
Zeitpunkt nicht mehr erlebenden Individuen, von deren 
jedem am späteren Zeitpunkt beziehungsweise 0, 1,2, ... 
Nachkommen leben, die am früheren Zeitpunkt noch nicht 
lebten. 
N bezeiehne die Anzahl aller am späteren Zeitpunkt 
lebenden Nachkommen aller A am früheren Zeitpunkt 
lebenden Individuen. 
Aus diesen Definitionen und Bezeichnungen 
folgende Identitäten als selbstverständlich hervor: 
AIR EI 0 AN 4). A. 
L=,+,+b+-: 
T=bhb+htrb+t:: 
4i=, + +%+ 
heim (nl u, lb ae or Ubch We 
Hierzu gesellt sich: 
1) v-A=L-+N. 
gehen 
$2. Anzahl der Nachkommen, Hauptformel. 
Von den A am früheren Zeitpunkt lebenden Indivi- 
duen haben a, gar keine Nachkommen, die am späteren 
Zeitpunkt leben, a, haben gerade einen, a, gerade zwei, 
a, gerade drei u. s. w. solche Nachkommen, so dass es 
scheint, als ob 
1-4 42-9 +3. +4-1,+°-- 
die Zahl N der am späteren Zeitpunkt lebenden Nach- 
kommen darstellte. Es ist jedoch daran zu denken, dass 
bei der eben geschriebenen Summe jeder Nachkomme so 
oft gerechnet ist, als er Ahnen hat, die am ersten Zeit- 
punkt lebten. Die obige Summe ist daher nicht gleich 
N, sondern gleich w- N, wo w (vgl. $ 1) der Durch- 
schnitt der Zahlen ist, welche angeben, wieviel Ahnen 
von jedem am zweiten Zeitpunkt lebenden Individuum 
am ersten Zeitpunkt gelebt haben. Mit Benutzung von 1) 
erhalten wir also: 
».A=L+lll-a +2. +3:4,—+:::] 
oder: 
2) vwewA—=wL-+ [1-9 +2-9-H3:4,-+-*--] 
Subtrahiren wir diese Relation von der mit einem be- 
liebigen Coeffieienten % multiplieirten, selbstverständlichen 
Identität: 
R-A=kl tt Hl +++) 
Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 
Nr. 30. 
so erhalten wir: 
A(k— vw) = |(k— w)l, + (k— w—1)h + ---] 
Pe he] 
Die in den runden Klammern dieser Gleichung stehenden 
Coeffieienten könnten auch bei gross gewähltem / schliess- 
lich negativ werden. Dies stört jedoch nicht die folgende 
Beziehung: 
3) Alk— vw) <|[(k—w) I, + (k—w— 1), + (k—w—2)1,-+»--] 
+ [kto—+ ee +(k—2)ty-+-»-], 
wo dieSummanden in den eckigen Klammern nur 
soweit fortzusetzen sind, wie sie positiv bleiben. 
Umrdiert u, lo, Satan, er dUNchRICHA TE 
Ay,... ($ 1) zu ersetzen, addiren wir noch die wegen 
> el 
— L+T 
identische Gleichung: 
= w—- who +++: 
und erhalten die Hauptformel: 
4) Alk — kw) < |(k — wA) a, + (k— uA— 1), -+*:-)], 
ist, 
9a +hF+ ol 
wo wieder die Summe soweit fortzusetzen 
wie die Summanden positiv bleiben. 
$ 3. Eine Hypothese und ihre Folgen. 
Um aus der in $ 2 abgeleiteten Hauptformel 4) 
Schlüsse ziehen zu können, setzen wir jetzt voraus, dass 
von den Zahlen 
velase) 
Ay, A, A, Ay.» 
die Zahl a, die grösste sein soll, d. h. wir machen die 
Hypothese: An einem beliebigen Zeitpunkt ist 
die Anzahl derjenigen Individuen einer Lebens- 
genossenschaft, von denen an einem beliebigen 
späteren Zeitpunkt keine Nachkommen leben, 
die nach dem ersten Zeitpunkt geboren wären, 
grösser als die Zahl derjenigen Individuen, von 
denen dann gerade ein nach dem früheren Zeit- 
punkt geborener Nachkomme lebt, und auch 
grösser als die Zahl derjenigen Individuen, von 
denen gerade zwei nach dem ersten Zeitpunkt 
geborene Nachkommen leben, u. Ss. w. 
Kein Statistiker und kein Biologe wird die Zulässig- 
keit dieser Hypothese bestreiten, wenn er an die bedeu- 
tende Anzahl der im Kindesalter sterbenden Individuen 
denkt und darauf achtet, dass die Hypothese nur verlangt, 
dass a, grösser sein soll, als jede einzelne der Zahlen 
Go oesnnicht; aber verlangt, dass a, allein schon 
grösser sein soll, als die Summe 
+9, ++, 
was wohl nieht immer zutreffend wäre. Wegen der eben 
ausgesprochenen Hypothese dürfen wir nun in der Haupt- 
formel 4) rechts vom Grösserzeichen a, statt a,, a, auch 
statt a, setzen. Dann erhalten wir 
Ak—vww)Zay[(k— wi) +(k—wi —1) +»). 
Hier steht in der eckigen Klammer eine um die con- 
stante Differenz 1 abnehmende arithmetische Reihe, deren 
Anfangsglied k — wi ist, und deren Endglied die "Zahl 1 
oder ein zwischen O und 1 liegender echter Bruch ist, je 
nachdem k — wi eine ganze Zahl oder eine gebrochene 
Zahl ist. Im ersten Falle ist die Summe der arithmeti- 
schen Reihe 
: (k — wi) (k— wi +1), 
