XII. Nr. 25. 
geliedert sind, wird mittelst des Cauchy’schen Integralsatzes die- 
Zerlegung der doppeltperiodischen Functionen in einfache Elemente 
gelehrt, die dauernd mit dem Namen Hermite verbunden ist. 
Von dieser Zerlegung werden dann Anwendungen auf die -Weier- 
strassischen und Jacobischen Funetionen gemacht. Daran schliessen 
sich Untersuchungen über das Additions- und Multiplieations- 
theorem für diese Funetionen, die Entwiekelung in trigono- 
inetrische Reihen und die Untersuchung der Integrale der doppelt- 
‚periodischen ‚Funetionen. 
Der als „Umkehrung“ bezeichnete Theil: behandelt in dem 
ersten Capitel die Aufgabe, das Periodenyerhältniss ‘bezw. die 
Perioden bei gegebenem Modul oder gegebenen Invarianten zu er- 
mitteln, während das zweite und letzte Capitel sich mit der Um- 
kehrung der doppeltperiodischen Funetionen zweiter Ordnung, ins- 
besondere der Function sn beschäftigt. 
Da der vierte Band die unter der Bezeichnung „Caleul inte- 
gral“ von den Verfassern zusammengefassten Untersuchungen 
fortsetzen wird, lässt sich noch nieht mit Sicherheit übersehen, 
ob alle wesentlichen Punkte der Theorie der doppeltperiodischen 
Funetionen angemessene Berücksichtigung gefunden haben. 
Wir können uns der von anderer Seite bei Besprechung des 
zweiten Bandes ausgesprochenen Meinung nur anschliessen, dass 
das Werk von Tannery und Molk ein treffliches Lehrbuch der 
Theorie der doppeltperiodischen Funetionen darstellt, vor allem 
aber sich zu einem Nachschlagebuch für diejenigen eignet, die 
mit elliptischen Funetionen zu rechnen haben. Hierin liegt sein 
Hauptwerth. 
Die Ausstattung ist von der Güte, die wir an den Werken der 
berühmten Offiein, deren verdienter Chef kürzlich verstorben ist, 
seit langem gewöhnt sind. G. 
Emanuel Czuber, Vorlesungen über Differential- und Integral- 
rechnung. Erster. Band. Mit 112 Figuren im Text. XIII. und 
526 S. gr, 8°. Verlag von B. G. Teubner, Leipzig 1898. — Preis 
12,00 M. 
Lange Zeit waren wir in Deutschland auf die französischen 
. Lehrbücher der Differential- und Integralrechnung angewiesen, 
die sich in hervorragendem Maasse durch eine klare, leicht- 
verständliche und doch elegante Darstellung auszeichnen, und wer 
die — übrigens sehr geringen — sprachlichen Schwierigkeiten 
scheute, nahm eine Uebersetzung zur Hand. In dieser Beziehung 
ist seit einigen Jahren ein. bedeutender Umschwung eingetreten, 
insofern wir nunmehr auch eine Reihe deutscher Lehrbücher be- 
sitzen, welche sich in Bezug auf Leichtverständlichkeit und hin- 
sichtlich der. Daxstellung, sowie in Betreff der Strenge der Be- 
griffsbildung- jenen an die Seite stellen. Es braucht nur an das 
ausserordentlich verbreitete Lehrbuch von Kiepert, das seiner 
Lesbarkeit und. der zahlreichen - ausgeführten Beispiele wegen 
hochgeschätzt wird, und an das Nernst-Schönfliess’sche Werk, 
„welches sich insbesondere an die Naturwissenschaftler und nament- 
lich an die Chemiker wendet, erinnert zu werden, ohne anderer 
trefflicher Lehrbücher über den genannten Gegenstand zu ge- 
et welche das Hauptgewicht auf die Strenge der Begründung 
egen. 
- Zu -diesen gesellen sich die vorliegenden Vorlesungen des 
Prof. Czuber vom Wiener Polytechnicum, und der erste -Band, 
welcher die Differentialrechnung behandelt, berechtigt zu der Er- 
wartung, dass das Werk nach seiner Vollendung zu den besten 
Lehrbüchern der Differential- und Integralrechnung gehören wird. 
In erster Linie für Studirende der technischen Hoch- 
schulen bestimmt, ist die Czuber’sche Differentialrechnung auch 
unbedingt den Studirenden der Mathematik zu empfehlen. Die 
Darstellung fusst auf der modernen, strengen Begriffsbildung, 
welche aus den tiefgehenden Forschungen über den Zahlbegriff 
(Irrationalzahl) und aus den functionentheoretischen Unter- 
suchungen erwachsen ist; zudem ist sie sehr klar gehalten und 
lässt überall das Wesentliche hervortreten, so dass der Leser den 
Faden nicht verliert. Die gewonnenen theoretischen Sätze werden 
an zahlreichen Beispielen erläutert, und zwar werden diese letzteren, 
theils mit Rücksicht auf die Bedürfnisse .der Techniker, theils 
aus gewichtigen, didaetischen Gründen, vornehmlich der Geometrie 
entlehnt, wie auch die geometrische Interpretation der analytischen 
Sätze aus denselben Gesichtspunkten benutzt worden ist. Wo man 
auch das Buch aufschlägt, überalllässt die Darstellung den erfahrenen 
Lehrer erkennen. 
Was den behandelten Stoff betrifft, so ist dessen Begrenzung 
und Anordnung nahezu traditionell geworden und auch durch die 
Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 
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höheren Theilen ‚der. wissenschaftlichen Technik und der Mathe- 
matik ziemlich genau bestimmt; aber: dennoch hat der Verfasser 
| manche Betrachtungen in seine Vorlesungen aufgenommen, die 
man sonst nicht in den Lehrbüchern der Differentialrechnung 
findet. Es sei hier nur an die Transformation der Ebene bezw. 
des Raumes in sich erinnert, wobei besonders die projeetive 
Transformation in ihren wesentlichen Merkmalen betrachtet wird. 
Sehr ausführlich ist der Abschnitt über die Anwendung der 
Differentialrechnung auf die Untersuchung von Curven und Flächen 
ausgefallen; er umfasst nahezu die Hälfte des Bandes. Vielfach 
werden darin, wie auch in anderen Lehrbüchern der Differential- 
rechnung, Gegenstände behandelt, die — an den Universitäten 
wenigstens — in besonderen Vorlesungen vorgetragen und weiter 
ausgebaut werden, da zu einer eingehenderen Behandlung der- 
selben mehr Vorkenntnisse erforderlich sind, als in der Differential- 
rechnung geboten werden. 
Inwiefern sich das Czuber’'sche Buch für deutsche technische 
Hochschulen eignet, müssen wir dahingestellt sein lassen. Denn 
bekanntlich sind die Lehrpläne der verschiedenen Hochschulen 
nicht einheitlich geordnet, und die Techniker greifen mit Rück- 
sicht auf ihre Specialvorlesungen in den systematischen Lehrgang 
der Mathematik viefach ein. Am besten passt sich das Czuber’sche 
Buch unseres Wissens den deutschen Universitätsvorlesungen über 
Differentialrechnung an; auf der Hochschule zu Braunschweig 
z. B. wird nämlich bereits im ersten Semester noch die Integral- 
rechnung soweit vorgetragen, dass der Student im zweiten 
Semester den Vorlesungen über technische Mechanik zu folgen 
vermag, das Czuber’sche Buch ist dagegen auf der Trennung der 
Differential- und Integralrechnung basirt. Indessen lässt sich 
hierüber wohl erst nach Vollendung des Werkes ein Urtheil ge- 
winnen. 
Es ist natürlich, dass einzelne Punkte von anderen Lehrern 
je nach Geschmack anders dargestellt werden würden; es ist das 
wirklich nahezu eine blosse Geschmacks- oder Gewohnheitssache. 
So z. B. vermag Referent einen besonderen Vortheil. in der 
schliesslich nur vorübergehenden Sipführung des Begriffes des 
vorwärts bezw. rückwärts genommenen und des vollständigen 
oder eigentlichen Differentialquotienten nicht zu erblieken; man 
kann dasselbe durch Betrachtuug -der Stetigkeit bezw. . Unstetig- 
keit der Ableitung erreichen, ohne erst neue Termini einzuführen. 
Ferner scheint es uns einfacher, das geometrische Bild der in- 
versen Function durch Spiegelung gegen die. Halbirungslinie des 
ersten und dritten Quadranten zu gewinnen, als durch Umklappung 
und Drehung der Ebene (S. 52); es giebt das unseres Erachtens 
eine viel lebendigere Anschauung, worauf es hierbei ja eigentlich 
nur ankommt. Im Uebrigen sei noch bemerkt, das der Verfasser 
einige Male auch Determinanten (allerdings nur solche zweiter und 
dritter Ordnung) benutzt, deren Kenntniss nach dem heutigen 
Stande unserer Mittelschulbildung nicht allgemein vorausgesetzt 
werden kann. 
Dem Werke ist ein ausführliches Inhaltsverzeichniss voran- 
gestellt; ein besonderes Sachregister fehlt. Ein kleines Litteratur- 
verzeichnis — vielleicht zu klein: es fehlt z. B. das Harnack’sche 
Buch! — befindet sich auf den beiden letzten Seiten, 
Sehr anzuerkennen ist die gute Ausstattung des Werkes be- 
züglich des Papiers, des Drucks und der Zeichnungen und nicht 
minder hinsichtlich des Einbandes. Wir sehen dem folgenden 
Bande mit hohem Interesse entgegen, G, 
Jahreshefte des naturwissenschaftlichen Vereins für das 
Fürstenthum Lüneburg. XIV. 1896—1898. Lüneburg 1898. — 
Inhalt: Zum Gedächtniss des verstorbenen Vorsitzenden des- 
Vereins, Reetors a. D. Dr. F. Kohlrausch, Prof. Dr. Gleue. — 
Zur Klärung der Irrlichter-Legende, Neue Beiträge. H. Stein- 
vorth-Hannover. — Ein verschollenes Säugethier Deutschlands, 
Direetor Dr. Schäff-Hannover (handelt über den Nörz). — 
Fremdländische Pflanzen bei Hannover, F. Alpers-Hannover. 
— Meteorologische Uebersicht der Jahre 1895, 1896, 1897, Pro- 
fessor Dr. Eichhorn. 
Briefkasten. 
Hr. F, — Herr Custos H. J. Kolbe vom Königl. Museum 
für Naturkunde zu Berlin theilt uns mit, dass die fragliche Raupe 
zu Ocnera dispar gehört. „Aehnliche Raupen — sagt er — sind 
die von Leucoma salieis, Porthesia similis, auriflua, chrysorrhaea. 
Letztere ist die häufigste augenblicklich und der Dispar-Raupe 
Rücksicht auf die Anwendungen der Infinitesimalrechnung in den | am ähnlichsten.“ 
er Bere nenn rn re a Be a a 7 aa 1 Pre Te 
Inhalt: P. Wagner: Die.Kieslagerstätten von Bodenmais i. b. W. — Clemens König; Von dem Fange und der Verbreitung 
der Seehunde. — Grössen-Unterschiede von Männchen und Weibehen im Thierreich, — Austerförmige Schildlaus Diaspis, 
Aspidiotus ostraeiformis Curtis. — Ueber die Eigenschaften des flüssigen Fluors. — Ueber die Homogenität des Heliums. — 
Wetter-Monatsübersicht. -— ‚Aus dem wissenschaftlichen Leben. — Litteratur:. Wilhelm Behrens, Tabellen zum Gebrauch bei 
mikroskopischen Arbeiten. — Tannery et Molk, Elements de la theorie des fonctions elliptiques. — Emanuel Ozuber, Vor- 
lesungen über Differential- und Integralreehnung. — Jahreshefte des naturwissenschaftlichen Vereins für däs Fürstenthum 
Lüneburg. — Briefkasten. 
