Nr. 9. 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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zu theilen, sie besitzen denselben in einem 8 Maass 

 fassenden Gefäss, haben aber ausserdem nur 

 noch zwei leere Gefässe, von denen das eine 

 5 Maass, das andere 3 Maass fasst. Wie können 

 sie den Wein in zwei genau gleiche Theile thei- 

 len, indem sie sich einzig und allein der drei 

 Gefässe bedienen? Zu dieser Aufgabe giebt Rächet 

 zwei Lösungen, welche, wenn wir Liter statt Maass sagen, 

 folgendermaassen lauten : 



1) Man giesse den Wein in das 5 Liter fassende Ge- 

 fäss, bis dasselbe voll ist; dann giesse man aus diesem 

 Gefäss so lange in das 3 Liter haltende Gefäss, bis 

 letzteres voll ist, so dass in dem zwcitgrössteu Gefäss 

 2 Liter übrig geblieben sind. Nun giesse man den Inhalt 

 des kleinsten Gefässes in das grösste, so dass dasselbe 

 nunmehr 6 Liter enthält. Dann giesse man die in dem 

 zweitgrössten Gefäss zurückgebliebenen 2 Liter in das 

 jetzt leere kleinste Gefäss. Darauf fülle man das zweit- 

 grösste Gefäss, indem man aus dem grössten Gefäss soviel 

 abgiesst, bis das zweite ganz gefüllt ist, so dass nunmehr 

 die drei Gefässe der Eeihc nach 1, 5, 2 Liter enthalten. 

 Jetzt entleere man das zweite Gefäss soweit, dass das 

 kleinste Gefäss voll wird. Dann sind im zweiten Gefäss 

 4 Liter zurückgeblieben. Man hat also nur noch die im 

 kleinsten Gefäss vorhandenen 3 Liter in das grösste zu 

 giessen, um zu erreichen, dass die 8 Liter halbirt sind. 



2) Bei der zweiten von Bachet gegebenen Lösung 

 giesst man zuerst in das 3 Liter haltende Gefäss, bis 

 dasselbe voll ist, darauf die so erhaltenen 3 Liter in das 

 mittelgrosse Gefäss. Nun füllt man wiederum das kleinste 



Gefäss, indem man aus dem grössten ausgiesst, so dass 

 im grössten 2 Liter zurückbleiben. Nun giesst man aus 

 dem kleinsten so lange in das zweitgrösste, bis dieses 

 voll, und dann den ganzen Inhalt desselben in das grösste 

 Gefäss, das nun 7 Liter enthalten muss, während im 

 kleinsten 1 Liter vorhanden ist. Dieses giesst man nun 

 in das mittelgrosse Gefäss. Endlich füllt man aus dem 

 grössten Gefäss in das kleinste, bis dieses voll ist, so dass 

 im grössten 4 Liter enthalten sein müssen, und die Auf- 

 gabe also gelöst ist, wenn man noch die im kleinsten 

 Gefäss enthaltenen 3 Liter in das mittelgrosse Gefäss 

 übergiesst. 



Man kann diese Lösungen übersichtlicher und kürzer 

 darstellen, wenn man den drei Gefässen 3 Columnen zu- 

 ordnet, und nach einander in diese Columnen die Zahlen 

 sehreibt, welche angeben, wieviel Liter nach jedem um- 

 füllen in den Gefässen enthalten sind. Diese kürzere 

 Darstellungsweise wollen wir auch im Folgenden 

 immer beibehalten. Ferner wollen wir die drei 

 Gefässe mit A, B, C bezeichnen, so dass A das 

 grösste, B das zweitgrösste, C das drittgrösste 

 bedeutet. Die Zahl der Liter, die jedes Gefäss über- 

 haupt fassen kann, setzen wir unter A, B, C, und zwar 



in Klammern. So gewinnen 



die beiden oben ausein- 

 ander gesetzten Lösungen 

 die nebenstehende übersicht- 

 liche Gestalt. 



Man kann das oben 

 besprochene Problem in 

 dreierlei Richtungen verall- 

 gemeinern: erstens dahin, 

 dass man statt der Zahlen 

 (8), (b), (3) beliebig gewählte 

 andere Zahlen setzt, welche 

 angeben sollen, wieviel Liter 

 die drei Gefässe A, B, C 

 fassen sollen, zweitens dahin, dass man als Ziel nicht 

 bloss die Halbirung, sondern die Erreichung jeder 



möglichen Literzahl betrachtet, drittens dahin, dass 

 man mehr als drei (iefässe als zur Verfügung stehend 

 voraussetzt. Da die dritte Erweiterungsrichtung weniger 

 Interesse bietet, weil die Auffindung einer Lösung da- 

 durch zu sehr erleichtert wird und die Anzahl der denk- 

 baren Lösungen zu gross wird, so wollen wir diese Er- 

 weiterung des Problems nicht eingehender behandeln, 

 sondern nur ein Beispiel geben, das wir den „Mathe- 

 matical Recreations" von Ball entnehmen. Das Gefäss A 

 sei voll und enthalte 24 Liter, die Gefässe B, C, D 

 sind leer und fassen 13, 11, 5 Liter. Man soll die 

 24 Liter durch Umfüllen in drei gleiche Theile theilen. 

 Eine sehr kurze Lösung des Problems ist folgende: 



Obwohl Ball in dem oben erwähn- 

 ten Buche die Ansicht ausspricht, dass 

 solche Umfüllungs- Aufgaben nur durch 

 Versuche, nicht aber mathematisch, 

 gelöst werden können, so wollen wir 

 doch eine kritische Behandlung der- 

 selben versuchen. Dabei wollen wir 

 uns das Problem in den beiden ersten 

 der oben genannten Vcrallgemeine- 

 rungsrichtungen, nicht aber in der 

 dritten ausgedehnt denken, das heisst, 

 wir wollen nur drei Gefässe A, B, C 

 betrachten, aber annehmen, dass jedes 

 eine beliebige Anzahl von Litern fasse, und dass auch je de 

 beliebige Zahl von Litern durch Umfüllen erreicht 

 werden soll. Dabei sollen die Zahlen für die von A, B, C 

 gefassten Liter beziehungsweise a, b, c heissen. Zuerst 

 siebt man nun leicht ein, dass bei dem Umfüllen immer nur 

 zweierlei stattfinden kann. Entweder man macht das 

 Gefäss, aus dem man giesst, ganz leer, oder man macht 

 das Gefäss, in das man giesst, ganz voll. Daher kann 

 es, wie oft man auch umgicssen mag, niemals vorkommen, 

 dass keins der Gefässe ganz leer und zugleich auch keius 

 ganz voll ist. Wenn also bei unserer tabellarischen Dar- 

 stellung der Umfüllungsarten in einer Reihe keine vor- 

 kommt, so muss nothwendig entweder die zweite Zahl 

 gleich b oder die dritte Zahl gleich c sein. Dass die 

 erste Zahl gleich a ist, konnte ausgelassen werden, weil 

 immer vorausgesetzt wird, dass überhaupt nnr a Liter 

 der Flüssigkeit vorhanden sind. Wenn man nun auf alle 

 möglichen Literzahlen von 1 bis a durch das Umfüllen 

 kommen soll, so muss man bei der Reihenfolge der Um- 

 füllungen darauf achten, dass man niemals auf eine Zahlen- 

 (jruppe stösst, die mit einer schon dagewesenen überein- 

 stimmt, weil man ja sonst alle (Truppen einfach nur 

 wiederholen müsste, die zwischen den beiden identischen 

 Gruppen liegen. Ausserdem hat man bei der Auffindung 

 einer Methode, die alle möglichen Zahlen liefert, noch 

 darauf zu achten, dass man möglichst spät auf die An- 

 fangsgruppe a, 0, zurückgelangt. Methoden, welche 

 diese Bedingung erfüllen, lassen sich mehrere finden. Eine 

 derselben besteht aus folgenden Vorschriften: 



Man giesse aus A in C, bis C voll ist, dann den In- 

 halt von C in B, darauf wieder aus A in C, bis C voll 

 ist, und auch wieder den Inhalt von C in B. So fahre 

 man fort, bis B ganz voll wird. Darauf fülle man den 

 Inhalt von B in A, und wenn in C ein Rest geblieben 

 sein sollte, diesen in B. Jetzt wiederhole man das anfäng- 

 liche Verfahren, und zwar wiederum so lange, bis B voll 

 ist. Dann giesse man den Inhalt von B wieder in A, 

 und, wenn in C ein Rest geblieben ist, diesen in B. Wenn 

 man dieses Verfahren immer weiter fortsetzt, so gelangt 

 man schliesslich zur Anfangsgruppe zurück, und man hat 

 dann alle möglichen Zahlen erreicht. Es fragt sich jedoch, 

 ob auch immer in A soviel Flüssigkeit ist, dass ganz 

 gefüllt werden kann. A ist jedenfalls am leersten, wenn 



