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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



Nr. 9 



in B b Liter sind. Dann aber soll man ja aus B in A 

 füllen. Sind aber in B nur b minus ein Liter, und ist C 

 noch leer, so fragt es sich, ob in A soviel Flüssigkeit ist, 

 -dass C ganz gefüllt werden kann. Da aber alle Flüssig- 

 keit zusammen immer a Liter sind, so musste in A a minus b 

 plus ein Liter sein. Dies darf also nicht kleiner sein, 

 als c, d. h. a darf nicht kleiner sein als b plus e 

 minus eins. Wenn diese Bedingung aber erfüllt ist, so 

 führt das Verfahren immer dazu, dass in B sämmtliche 

 Zahlen von 1 bis b vorkommen. Nur wenn b und c einen 

 gemeinsamen Tlieiler haben, können nicht alle Zahlen 

 erscheinen, sondern natürlich nur diejenigen, welche eben- 

 falls diesen Theiler haben. Wir stellen daher zunächst 

 die Bedingung an a, b, c, dass erstens a nicht kleiner ist 

 als b plus c minus eins, und dass zweitens b und c keinen 

 gemeinsamen Theiler haben. Diesen Bedingungen ent- 

 sprechen die folgenden Beispiele, bei welchen die oben 

 auseinandergesetzte Methode angewandt ist. Man bemerke 

 bei diesen Beispielen dann auch, dass, wenn C leer ist, 

 und in B y Liter sind, in A a minus y Liter sein müssen, 

 so dass in A alle Zahlen, die grösser als b sind, vor- 

 kommen müssen, wenn nur a minus b gleich oder kleiner 

 als b plus eins ist. Ist aber diese dritte Bedingung nicht 

 erfüllt, also a noch grösser als das um 1 vermehrte Do])- 

 pelte von b, so sind naturgemäss in A die Zahlen nicht 

 vorhanden, welche grösser als b aber kleiner als a — b 

 sind; dies immer in dem Falle, dass C leer ist. Nun kann 

 man aber, wenn C leer ist, C aus A füllen, woraus man 

 erkennt, dass nur dann Zahlen ausfallen müssen, wenn 

 a minus b minus c grösser ist als b plus eins, d. li., wenn 

 a grösser ist, als das um e plus eins vermehrte Doppelte 

 von b. Wir fassen das nunmehr erlangte Resultat noch 

 einmal kurz zusammen: Die oben auseinander- 

 gesetzte Umfüllungs-Methode führt zu sämnit- 

 lichen Zahlen von 1 bis a, wenn b und c keinen 

 gemeinsamen Theiler haben, und wenn ausser- 

 dem die folgende Bedingungs-Ungleichuug er- 

 füllt wird: 



b + c— l<a<2b-f-c + l. 



Unter den folgenden Beispielen erfiillen'die Bedingung, 

 dass b und c keinen gemeinsamen Theiler haben sollen, 

 sämmtliche, die Bedingung, dass b -+- c — 1 < a ist, auch 

 sämmtliche. Die Bedingung a<^2b-|-c4-l wird aber 

 nur von No. 1, 2, 3, 5, nicht aber von No. 4, 6, 7 erfüllt, 

 wodurch es kommt, dass in diesen letzten Beispielen ge- 

 wisse Zahlen fehlen müssen. 



Man erkennt, dass bei den Beispielen 1, 2, 3, 5 in B 

 alle Zahlen von 1 bis b und in A alle Zahlen von b + 1 

 bis a vorkommen. Dagegen fehlen bei den Beispielen 

 4, 6, 7 die Zahlen, welche kleiner als a ~ b — c und 

 grösser als b sind. Fügt man bei jedem dieser drei Bei- 

 spiele kurz vor dem Schluss noch die Umfüllung hinzu, 

 durch welche B und C gleichzeitig ganz voll werden, so 

 kommen in diesen Beispielen alle überhaupt erreich- 

 baren Zahlen vor. So enthält No. 7 unter B alle Zahlen 

 von 1 bis 12, unter A alle Zahlen von 31 — 12 — 5 = 14 

 bis 31, so dass nur die Zahl 13 fehlt. 



