Nr. 9. 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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Wenn man näher in das Wesen der angewandten 

 Unifülliings-Methode eindringt, so erkennt man, dass unter 

 B, abgesehen von den wiederholt auftretenden Zahlen 



und I), der Reihe nacli die Vielfachen der Zahl c von 



1 mal c bis 1) mal c erscheinen, wenn man jedes Viel- 

 fache immer, so oft es geht, um 1) vermindert. In No. 3, 

 wo c = 7, b = 17 ist, sind diese Vielfachen von c der 

 Reihe nach 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 

 98, 105, 112, 119, woraus nach Subtraction von 17 oder 



2 mal 17 u. s. w. die Reihe 7, 14, 4, 11, 1, 8, 15, 5, 12, 2, 9, 

 16, 6, 13, 3, 10, erscheint, welche mit der Reihe der durch 

 das Umgiessen entstehenden Zahlen genau übereinstinmit. 



Wir ha]»en noch den in den vorigen Beispielen aus- 

 geschlossenen Fall zu prüfen, wo a kleiner ist als die um 

 1 verminderte Summe von b und c. In diesem Falle 

 lassen sich unter B nicht alle Zahlen von 1 bis b er- 

 reichen. Man findet aber unter B alle Zahlen, die sich 

 überhaupt erzielen lassen, wenn man die oben beschriebene 

 Metliode auch hier anwendet, und so lange fortsetzt, bis 

 man auf eine Zahl stösst, die grösser als der Ueberschuss 

 von a über c ist. Die sonst noch erreichbaren Zahlen 

 ergeben sich unter A, wenn man die unter B erlangten 

 Zahlen von a abzieht, und wenn man aus dem Gefäss A 

 die anderen Gefässe füllt. Ist z. B. a = 20, b = 13, c = 9, 

 so ist a kleiner als die um 1 verminderte Summe von 

 b und c, wenn auch nur um 1 kleiner. Hier erscheinen 

 unter B bei Befolgung unserer Methode ausser und 13 

 die Vielfachen von 9, jede so oft wie möglich um 13 ver- 

 mindert, also die Zahlen 9, 5, 1, 10, 6, 2, 11, 7, 3, 12. 

 Schon hier bei 12 bricht aber die Reihe ab, da die 

 arithmetisch nun noch folgenden Zahlen 8 und 4 beim 

 Umfüllen unter B nicht erscheinen können, da, wenn in 

 B 12 Liter sind und C leer ist, in A nur 8 Liter sein 

 können, welche Quantität nicht genügt, um C ganz zu 

 füllen. Da aber unter A die Zahlen erscheinen müssen, 

 welche entstehen, wenn man die Zahlen der obigen Reihe 

 von 20 oder von 20 minus 9 abzieht, so kommen dennoch 

 die Zahlen 8 und 4 vor, aber nicht unter B, sondern 

 unter A als 20 minus 12 bezw. als 20 minus 9 minus 7. 

 Ebenso entstehen auch alle Zahlen zwischen 20 und 13, 

 mit einziger Ausnahme der Zahl 16, die auf keinerlei 

 Weise erreichbar ist. Als zweites Beispiel nehmen wir 

 a=16, b = 12, c^7. Auch hier ist a kleiner als die 

 um 1 verminderte Summe von b und c, 

 und zwar um 2. Dann sind unter B ausser 

 und 12 nach einander die Zahlen 7, 2, 

 9, 4, 11 erreichbar. Dann aber muss die 

 Reihe abbrechen. Ausserdem erscheinen 

 unter A die Zahlen 16 — 7 = 9, 16 — 2 

 = 14, 16 — 9 = 7, 16 — 4 = 12, 16 - 11 

 = 5, sowie auch 16 — 7 — 7 = 2, 16 — 7 

 — 2 = 7,16 — 7 — 9 = 0,16 — 7—4 = 5. 

 Unter C erscheinen die Zahlen 7, 2 mal 7 

 minus 12, 4 mal 7 minus 2 mal 12, so 

 dass schliesslich die folgenden Zahlen ganz 

 unerreichbar bleiben: 1, 3, 6, 8, 10, 13, 15, 

 wie auch die nebenstehende ausführliche 

 Darstellung der Umfüll-Methode zeigt. 



Es fragt sich nun, ob nicht vielleicht 

 andere Methoden der UmfUllung denkbar 

 sind, die dann vielleicht auch zu denjenigen Literzahlen 

 fuhrt, die nach der bisher befolgten Methode unerreichbar 

 waren. Eine nähere Untersuchung des Problems zeigt, 

 dass in der That noch eine zweite Methode existirt, dass 



aber diese zu keinen andern Ergebnissen führt, wie die 

 erste Methode, und dass insbesondere die erreichbaren 

 sowohl wie die unerreichbaren Zahlen bei 

 beiden Methoden übereinstimmen, aber in 

 verschiedener Reihenfolge erscheinen. Na- 

 mentlich zeigt sich auch, dass, wenn a, b, c 

 die oben abgeleitete Bedingungs - Unglei- 

 chung erfüllen, alle Zahlen von 1 bis a 

 erhalten werden können, nach der zweiten 

 Methode ebenso gut, wie nach der ersten 

 Methode. Diese zweite Methode lautet 

 folgendermaassen : 



Man giesse aus A in B, bis B voll 

 ist, dann aus ß in C, bis C voll ist, dann 

 den Inhalt von C in A, dann nochmal aus 

 B in C, bis C voll ist, und dann aus dem 

 vollen C in A, und wiederhole dies so 

 lange, bis es nicht mehr gelingt C aus B 

 ganz zu füllen. Darauf giesse man trotz- 

 dem diesen Rest in C, so dass B leer 

 wird. Nun fülle man von neuem aus 

 A in B, bis B voll ist, und wiederhole nun 

 den eben beschriebenen Process, bis wieder- 

 um in B weniger als c ist. Dann giesse 

 man diesen Rest in C, fülle das leere B 

 aus A, giesse aus B in C, bis C voll ist, 

 u. s. w. Nach dieser Methode ist in dem 

 beistehenden Beispiele verfahren. Man 

 bemerke, dass, wenn die Bedingungs- Un- 

 gleichung über a erfüllt ist, die Reihen- 

 folge der erreichten Zahlen-Tripel genau 

 umgekehrt zu der bei der ersten Methode 

 erlangten Reihenfolge ist. Ist aber jene 

 Bedingungs- Ungleichung nicht erfüllt, so 

 wird es vorkommen, dass in A nicht hin- 

 reichend Flüssigkeit ist, um B ganz füllen zu können. 

 Dann hat man es soweit wie möglich zu füllen und in 

 der Befolgung der Methode fortzufahren. Das Ergebniss 

 aber ist dann, dass gewisse Zahlen als 

 unerreicbbarausgeschlossen bleiben könnten, 

 und zwar sind dies dann dieselben Zahlen, 

 die auch bei der ersten Methode ausfallen 

 mussten. Um dies zu verdeutlichen, behan- 

 deln wir das oben nach der ersten Me- 

 thode durchgeführte Beispiel, wo a = 16, 

 b = 12, c = 7 ist, jetzt auch nach der 

 zweiten Methode. (Siehe nebenstehendes 

 Beispiel.) 



Man sieht, dass wiederum die Zahlen 

 1, 3, 6, 8, 10, 13, 15 ausfallen, alle an- 

 deren Zahlen von 1 bis 16 aber erscheinen. 



Was das Geschichtliche dieser Um- 

 füllungs- Aufgaben anbetrifl't, so finden sich 

 dieselben zuerst wohl in Tartalea's Schriften 

 (erste Hälfte des 16. Jahrhunderts), dann 

 bei Bachet in dessen Recreations, die 1612 

 zuerst erschienen. Im Anfang unseres Jahrhunderts zog 

 Ozanam (1803) diese Aufgaben wieder ans Tageslicht, 

 und seitdem sind sie in allen möglichen Büchern und 

 Schriften, die Zahlenbelustigungen enthalten, zu finden. 

 Eine kritische Behandlung dieser Aufgaben für den Fall, 

 dass a, b, c beliebige Zahlen sind, und jede Zahl von 

 1 Liter bis a Liter durch Umgiessen erreicht werden soll, 

 dürfte in diesem Artikel wohl zuerst geliefert sein. 



