Nr. 14. 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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und der 15 Türken leicht durch empirisclios Zälilen ge- 

 löst werden können, dass es aber unmöj;licli ist, eine 

 allgemeine Regel anzugeben". Der Verfasser dieser Ar- 

 tikel hat es daher für seine Pflicht gehalten, den Versuch 

 einer mathematischen Behandlung zu machen. Dieser Ver- 

 such ist schliesslich vom besten Erfolge gekrönt gewesen. 

 Da jedoch die inatiicmatische üeberlegung selbst mehr in 

 eine rein mathematische Zeitschrift, als in diese Zeit- 

 schrift hineinpasst, so wird es genügen, wenn hier nur 

 die Eesultate der Untersuchung Platz finden. Diese lassen 

 sich auch in einer für Nicht -Mathematiker verständlichen 

 Form wiedergeben. Zunächst geben wir dem Problem 

 folgende Fassung: 



Auf einer Kreis-Peripherie liegen n Punkte, 

 die, der Eeihe nach, im Sinne eines Uhrzeigers, 

 durch die Zahlen 1, 2, 3, . . . bis n bezeichnet 

 sind. Man zählt, mit Punkt 1 beginnend, der Reihe 



mit X bezeichnet, x gleich d wird, wenn e gleich 1, und 

 n nicht kleiner als d ist. Wenn ebenfalls e gleich 1, aber 

 n kleiner als d ist, so ist x gleich dem Reste, der übrig 

 bleibt, wenn man d durch n dividirt. Dies ist aus der 

 Art des Abzählens unmittelbar ersichtlich. Damit sind für 

 e = 1 alle Zaiden x bestimmt. Was die Zahlen für e ^ 2 

 angeht, so fand der Verfasser, dass dieselben aus denen 

 für e ^ l dadurch hervorgehen, dass man die letzteren 

 um d wachsen lässt; wenn man dabei auf eine Zahl 

 stösst, die grösser als n ist, so hat man n einmal oder 

 öfter abzuziehen, bis eine Zahl herauskommt, die nicht 

 grösser als n ist. Doch ergiebt sich auf solche Weise 

 aus einer für e = 1 richtigen Zahl diejenige für e = 2 

 richtige Zahl, welche sich auf eine um 1 grössere Zahl 

 von Punkten bezieht. Beispielsweise ist für d ^ 3, 

 e = 1, n ^ 3, X = 3. Aus x = 3 folgt nun die auf d ^ 3, 

 e = 2 und n nicht gleich 3, sondern gleich 4 bezügliche 



Tabelle 2. 



nach, die Punkte bis zur Zahl d. Der Punkt, den 

 die Zahl d trifft, wird ausgestrichen. Bei dem 

 in d e r R e i h e nächst f o I g e n d e n P u n k t e b e g i n n t m a n 

 wieder zu zählen, und zwar wieder von 1 bis d. 

 Der Punkt, den jetzt die Zahl d trifft, wird auch 

 ausgestrichen, und so setzt man dieses Verfahren 

 fort, bis alle Punkte ausgestrichen sind, wobei 

 man nie versäume, die ausgestrichenen Punkte 

 beim Zählen zu überspringen. Es soll berechnet 

 werden, welche Nummer der Punkt hat, der als 

 erster, welciie. der als zweiter, und überhaupt, 

 welche Nummer x der Punkt hat, der als e-ter 

 Punkt ausgestrichen wird. Naturgemäss sind n, 

 d, e, positive ganze Zahlen. Auch kann d kleiner, 

 gleich oder grösser als n sein. Die Zahl e kann 

 natürlich niclit grösser als n sein. Fragt man, 

 welcher Punkt als letzter ausgestrichen wird, so 

 hat man e = n zu setzen. 



Zunächst ergiebt sich sehr einfach, dass, wenn man 

 die gcsuclite Nunnner des ausgestrichenen Punktes innner 



I Zahl, indem man zu der Zahl 3, die eben für x galt, d, 

 also 3, hinzufügt. Dies giebt 6. Da 6 aber grösser als 4 

 ist, muss ich 4 abzieiien, giebt 2. Dies hcisst, dass, wenn 

 man bei 4 Punkten immer von 1 bis 3 zählt, die als 

 zweite ausgestrichene Zaid ursprünglich die zweite Stelle 

 einnahm, was man leicht experimentell als richtig erkennt. 

 In derselben Weise gehen nun aus den auf e = 2 und n 

 bezüglichen Zaiden diejenigen hervor, die sich auf e ^ 3 

 und n H- 1 beziehen. Beispielsweise sei hier die Tabelle 

 der auf d = 3 bezüglichen Zahlen x zusannnengestellt. Da 

 man immer d zu addiren und ausserdem nur eventuell 

 um n zu vermindern hat, so kann man eine solche Tabelle 

 ohne Nebenrechnung aus dem Kopfe hinschreiben (vergl. 

 Tabelle 1). 



Es ist nun leicht, die Tabelle beliebig weit fort- 

 zusetzen. Die schrägen Pfeile deuten die selirägen Reihen 

 an, in denen jede Zahl aus der links drüber betindlichen 

 durch Addition des Werthes 3 von d hervorgeht. Da, wo 

 mehr als n herauskommt, ist die nothwendig gewordene 

 Subtraction von d durch eine uuausgerechnet geschriebene 



