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Natiirwisseuscliaftlichc Wochensclii-il 



Nr, 14. 



Diiferenz sichtbar gemaclit. Um ein zweites grösseres 

 Beispiel zu haben, schreiben wir in derselben Weise alle 

 sich für d = 9, n gleich 1 bis 30, e gleich 1 bis 30 er- 

 gebenden Werthe. Die letzte Reihe giebt dann die Lö- 

 sung des Problems der ]5 Christen und der 15 Türken, 

 und zwar nicht allein in der dort geforderten Form, son- 

 dern auch so, dass man erkennt, in welcher Reihenfolge 

 die 15 Türken über Bord geworfen werden. Bei der 

 vorigen wie bei der nachfolgenden Tabelle beachte man 

 den wichtigen Umstand, dass immer die n Zahlen, die in 

 derselben Reihe mit n stehen, alle Zahlen von 1 bis n 

 umfassen müssen, so dass nie eine solche hori- 

 zontale Reihe von n Resultaten eine und dieselbe 

 Zahl doppelt aufweisen kann. Hierdurch wird eine 

 wichtige Controle bei der allmählichen Berechnung der 

 Tabelle geliefert. Die nachfolgende Tabelle löst alle Auf- 

 gaben, die sich auf d = 9 beziehen, wenn n eine der 

 Zahlen von 1 bis 30 ist. Beispielsweise seien 28 Schüler 

 in einer Classe. Der, welcher beim Abzählen von 1 bis 9 

 und Entfernung des jedesmaligen 9ten schliesslich allein 

 übrig bleibt, soll für die Reinigung der Tafel sorgen. 

 Welchen Platz hat der, dem dieses Amt schliesslich zu- 

 fällt? Unsere Tabelle ergiebt für n = 28 und e = 28, 

 dass derselbe den dritten Classenplatz inne hat (vergl. 

 Tabelle 2). 



Die bisher auseinandergesetzte Methode, um bei ge- 

 gebenen Zahlen d, n, e das zugehörige x zu tinden, ver- 

 langt, dass man erst die Zahlen x für kleinere n nach 

 einander berechnet, ehe man den Werth der Zahlen x 

 für n selbst finden kann. Es fragt sich nun, ob nicht die 

 Mathematik Mittel liefert, um direct ans den gegebenen 

 Zahlen d, n, e das zugehörige x zu finden. Dies ist in 

 der That möglich. Um diese directe Auffindung 

 der Lösung unseres Problems verständlich zu machen, 

 muss ich einige Erklärungen vorausschicken. Eine 

 geometrische Reihe ist bekanntlich eine Reihe von 

 Zahlen, bei denen jede folgende aus der unmittelbar 

 vorangehenden entsteht, indem man diese mit einer 

 und derselben Zahl, dem constanten Quotienten 

 der Reihe, multiplicirt. So sind 



1, 2, 4, 8, 16, 32, ... . ■ 

 16, 20, 25, 31^, 39t',t, 



geometrische Reihen, deren Anfangsglieder 1 bezw. 16 

 heissen, und deren constante Quotienten 2 bezw. j sind. 

 Ist nun der constante Quotient keine ganze Zahl, sondern 

 ein Bruch, so müssen auch die Glieder der Reihe ent- 

 weder sofort oder später gebrochene Zahlen werden, gleich- 

 viel, wie das Anfangsgiied hiess. Wenn mau nun in diesem 

 Falle, sobald ein Bruch entsteht, immer die nächst 

 grössere ganze Zahl dafür setzt, und dann auch diese 

 ganze Zahl mit dem constanten Quotienten mnltiplicirt, 

 um das nächste Glied zu erhalten, so bekommt man eine 

 Reihe von lauter ganzen Zahlen, die natürlich nicht mehr 

 eine genaue geometrische Reihe darstellt, und die wir 

 eine ganzzaiilige Reihe nennen wollen. Um diese Er- 

 klärung zu verdeutlichen, folgen hier einige solche Reihen, 

 bei denen immer das Anfangsglied a, der constante 

 Quotient q genannt ist: 



1) a = l, q = ^ giebt: 1, 2, 3, 5, 8, 12, 18, 27, 41, 

 62, 93, 140 



2) a = 10, q=|i giebt: 10, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 

 24, 27, ... . 



3) a = 25, q = | giebt: 25, 30, 36, 44, 53, 64, 77, 

 93, 



Nach Feststellung dieses Begriffs lässt sich das Re- 

 sultat des Verfassers bezüglich einer directeren Ermittelung 

 der Platznummer x bei unserm Problem, wie folgt, dar- 

 stellen: Man subtrahire e von n, multiplicire die 

 Differenz mit d und addire dann 1. Die so 

 erhaltene Zahl nehme man als Anfangsglied 

 einer „ganzzahligen Reihe", als deren Quotient 

 man d dividirt durch die um 1 verminderte Zahl 

 d zu nehmen hat. Dann bestimme man in dieser 

 Reihe das grösste von allen Gliedern, die noch 

 nicht grösser als das Product von d und n sind. 

 Der um 1 vermehrte Unterschied zwischen dem 

 so bestimmten Gliede und dem eben genannten 

 Producte ist stets die genaue Platznummer x. 

 Hierfür einige Beispiele: 



1) d = 3, n ^ 14, e =: 13 (vgl. die erste der beiden 

 obigen Tabellen). Man hat also 14 Punkte, zählt immer 

 bis 3 und fragt, welcher Punkt als vorletzter ausgestrichen 

 wird. Das Anfangsglied d (n — e) -[- 1 ^ 3 ■ 1 + 1 = 4. 

 Der constante Quotient ist |, das Product d • n -- 42. Die 

 Reihe heisst daher: 



4, 6, 9, 14, 21, 32, 48. 



Hier kann abgebrochen werden, da 48 schon grösser als 

 42 ist. ]\fan hat also 32 zu wählen, von 42 abzu- 

 ziehen, giebt 10, dazu 1 zu addiren. Also scheidet der 

 Ute Punkt als vorletzter aus, wie auch aus der Tabelle 

 hervorgeht. 



2) d=10, n = 8, e = 8. Man hat also 8 Punkte, 

 zählt immer bis 10, und fragt, welcher Punkt zuletzt aus- 

 zustreiehen ist. Das Anfangsglied d (n — e) -\- \ giebt 

 hier 1. Der constante Quotient der Reihe ist V^. Also 

 fängt die Reihe an mit 1, 2, 3, ... . Man kann jedoch 

 sofort mit den Gliedern 9, 10 beginnen, da die vorauf- 

 gehenden Glieder ja alle Zahlen unter 9 sein müssen. 

 So bekommen wir: 



9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 23, 26, 29, 33, 37, 42, 

 47, 53, 59, 66, 74, 83. 



Da d • n gleich 80 ist, so ist die Zahl 74 zu wählen, die 

 um 6 kleiner ist als 80. Also ist 6 -h 1 ^ 7 die Nummer 

 des Punktes, der zuletzt gestrichen wird. 



3) Welchen Platz hatte der Türke, der, gemäss der 

 ursprünglichen Fassung des Problems, zuletzt über Bord 

 geworfen wurde? Hier ist d = 9, n = 30, e ^ 15. Das 

 Anfangsglied ist d (n — e) -+- 1 = 136. Der constante 

 Quotient •; , das Product, bis zu welchem die Reihe fort- 

 zusetzen ist, 270. Also: 



136, 153, 173, 195, 220, 248, 279. 



Also i.st 248 zu wählen, 270 — 248 + 1 = 23. Folglich 

 hatte der letzte geopferte Türke den 23ten Platz, wie 

 auch die obige Tabelle zeigt. 



4) Es sei die oben erwähnte im Räthselschatz von 

 Dr. Freund mit Nr. 269 bezeichnete Aufgabe zu lösen, 

 bei welcher n = 32, d = 10, e = 1 bis 16 ist. Bezeichnet 

 man die Werthe von x, die für e=l, 2, 3, ... heraus- 

 kommen, bezw. mit x, , Xj, X3, . . ., so hat man, um x,, 

 Xo, ... zu finden, ganzzahlige Reihen aufzustellen, deren 

 Anfangsglieder bezw. 311, 301, 291 u. s. w. sind, und 

 deren constanter Quotient übereinstimmend \" beträgt. 

 Das maassgebende Product, das von den zu wählenden 

 Gliedern der Reihe nicht überschritten werden darf, ist 320. 

 Also kommt: x, = 1 -f 320 — 311 = 10, Xj = 20, x, = 30, 

 wie auch unmittelbar ersichtlich ist Um x^ bis Xj,; zu bilden, 



