Nr. -26. 



Natni-wisscnschaftliche Woclieuschrift. 



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entsteht aus dem Problem der Königsberger Brücken das 

 Problem, die beistehende Figur in 

 einem einzigen Zuge herzustellen, 

 oder, was dasselbe ist, die 7 Linien 

 der Figur ohne Unterbrechung so zu 

 durcliwandern, dass jede Linie ein- 

 r.'al, aber auch nur einmal passirt 

 wird. Aus diesem Problem sind die 

 mannigfachen Aufgaben entstanden. 



welche 



eine beliebige 



l'igur in einem einzigen Zuge oder in einer vorgeschrie- 

 benen Anzahl von Zügen zu zeichnen, Aufgaben, welche 

 gelcgcntlicli in Unterbaltungs- und in Jugend-Zeitschriften 

 auftreten. Die Lösung aller solcher Probleme gestaltet 

 sich durch die folgende Ueberlegung äusserst einfach. 

 .Feder Punkt, der nicht Anfangs- und nicht Endpunkt 

 einer Durchwanderung der Figur ist, muss zwei oder 

 vier oder sechs oder überhaupt eine gerade Anzahl von 

 Ausgängen haben, da man immer hin- und auch wieder 

 fortwandern muss. Wenn also eine Figur keine Punkte 

 mit einer ungeraden Anzahl von Zugängen, sondern nur 

 solche mit einer geraden Anzahl von Zugängen besitzt, 

 so muss sie immer in einem einzigen Zuge herstellbar 

 sein und jeder Punkt kann als Ausgangspunkt gewählt 

 werden, muss aber dann auch zugleich Schlusspunkt der 

 Wanderung sein, sodass sich eine geschlossene Rund- 

 reise ergiebt. So lässt sich jede der folgenden beiden 

 Figuren leicht in einem einzigen Zuge herstellen, weil 

 jede nur Punkte enthält, die eine gerade Zahl von Aus- 

 gängen haben. 



Was die Punkte mit einer ungeraden Anzahl von 

 Ausgängen anbetrifft, so lässt sich zunächst beweisen, 

 ilass solche Punkte immer nur in gerader Anzahl vor- 

 handen sein können. Um dies einzusehen, denke man 

 sich auf jeden Punkt die Zahl seiner Ausgänge hin- 

 geschrieben. Die Gesammtsumme der so erhaltenen 

 Zahlen muss ergeben, wieviel Linien die Figur besitzt, 

 wobei .jedoch zu beachten ist, dass jede Linie dabei 

 sowohl in ihrem einen, wie in ihrem andern Endpunkte 

 gerechnet ist, sodass also jede Linie doppelt gezählt 

 ist. Folglich ist jene Gesammtsumme das Doppelte der 

 Anzahl aller Linien, also eine gerade Zahl. Von dieser 

 geraden Zahl denke man sich alle geraden Zahlen ab- 

 gezogen, welche bei den sämmtlichen Punkten der Figur 

 stehen. Die wiederum gerade Zahl, welche als Differenz 

 entsteht, giebt an, wieviel Ausgänge alle diejenigen 

 Punkte zusammen haben, die eine ungerade Zahl von 

 Ausgängen haben. Da man nun von jeder ungeraden 

 Zahl eine gerade Zahl abzuziehen hat, um die Zahl 1 zu 

 erhalten, so ergiebt sich als Anzahl der Punkte mit einer 

 ungeraden Zahl von Ausgängen das Resultat, das ent- 

 steht, wenn man von der oben erhaltenen geraden Zahl 

 lauter gerade Zahlen abzieht, also schliesslich wieder eine 

 gerade Zahl. 



Betrachten wir demgemäss zunächst eine Figur, 

 welche ausser Punkten, von denen eine gerade Anzahl 

 von Wegen abführt, nur zwei Punkte besitzt, von denen 



eine ungerade Zahl von Wegen ausgeht. Dann kann 

 keiner dieser beiden Punkte Zwischenstation auf einer 

 Wanderung über die Linien dieser Figur sein, weil man 

 immer nach Erreichung eines Punktes auf dem einen 

 Wege, auf einem andern Wege ihn wieder verlassen 

 muss, was nur bei einer geraden Anzahl von Zugängen 

 fortdauernd erreichbar ist. Folglich muss der eine der 

 beiden Punkte mit ungerader Ausgangszahl Anfangs- 

 station, der andere Endstation werden. Beispielsweise 

 lässt sieh die beistehende Figur auf mehrfache Weise in 

 einem einzigen Zuge herstellen, aber 

 nur, wenn von den Punkten A und Z 

 der eine Anfangspunkt , der andere 

 Schlusspunkt wird. Eine solche Wan- 

 derung istz. B.: ABJLCZDNMEAM 

 FNZLG,JAH.IKLHKMHNKZ. 



In derselben Weise erkennt man 

 nun leicht , dass , wenn eine Figur 

 4 Punkte mit ungerader Ausgangszahl 

 enthält, sie nicht in einem einzigen Zuge, wohl aber in 

 zwei Zügen gezeichnet werden kann, indem von den 

 4 Punkten zwei für den einen und zwei für den andern 

 Zug als Anfangs- und Schlusspunkt gewählt werden. All- 

 gemein ergiebt sich, dass jede Figur immer in soviel Zügen 

 hergestellt werden kann, wie die Hälfte der Anzahl sämmt- 

 licher Punkte beträgt, die eine ungerade Anzahl von 

 Ausgängen haben. Wenn wir diese Regel auf das Pro- 

 blem der Königsberger Brücken anwenden, so haben wir 

 zu beachten, dass von den 4 Punkten A, B, C, D (vergl. 

 die obigen Figuren) A3, B5, C3, D3 Ausgänge hat, und 

 schliessen daraus, dass die 7 Brücken von Königsberg 

 nur auf zwei Wanderungen mit verschiedenen Aufangs- 

 und Endpunkten passirt werden können, wenn es darauf 

 ankommt, dass jede Brücke nur einmal betreten wird, 

 z. B. auf den Wegen ADBCBD und BAC. Dabei hat 

 man natürlich von den beiden Wegen zwischen D und B 

 beziehungsweise B und C zuerst den einen, nachher den 

 andern zu wählen. Um ein zweites Beispiel zu haben, 

 betrachten wir die beistehende Figur des pythagoräischen 

 Lehrsatzes mit dem zum Beweise nothweudigen Lothe 



von A auf ED. Da nur die Punkte A und L eine un- 

 gerade Anzahl von Ausgängen haben, so ist die Figur 

 in einem einzigen Zuge zu zeichnen, wenn man bei A 

 anfängt und bei L aufhört oder umgekehrt. Z. B. erfüllt 

 der Weg ABKC AILJCDLEBFGAKL die gestellte Be- 

 dingung. Um drittens zu entscheiden, in wieviel Zügen 

 die Figur des Schachbretts herzustellen ist, beachte man. 



