Redaktion; f Dr. H. Potonie. 



Verlag: Ferd. Dümmlers Verlagsbuchhandlung, Berlin SW. 12, Zimmerstr. 94. 



IX. Band. 



Sonntag, den 9. September 1894. 



Nr. 36. 



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Mathematische Spielereien in l<ritischer und historischer Beleuchtung. 



Vou Prof. Dr. H. Schubert. 



XII. Die Hamiltou'sche Ruudreise-Aufgabe. 



(Letztor Artikel dieser Serie.) 



Im Jahre 1859 erschienen in London zwei Geduld- 

 spiele, welche von dem berühmten Mathematiker Hamilton, 

 dem Entdecker der (juaternionen-Theorie, erfunden waren 

 und ursprünglich beide dazu dienten, Beispiele für ge- 

 wisse Berechnungen in dieser Theorie zu liefern. Das eine 

 Spiel hiess „Die Reisenden auf dem Dodekaeder oder 

 eine Reise um die Welt", das andere 

 „Das Ikosaeder-Spiel". Beide Spiele sind 

 wesentlich nicht verschieden, sie ähneln 

 ilusseflicli den in XI behandelten „Enler- 

 schen Wanderungen", sind aber, bei 

 näherer Betrachtung, von diesen ganz 

 verschieden. Das Dodekaeder-Spiel ver- 

 langt, durch Wanderung auf den Kanten 

 eines regelmässigen Dodekaeders dessen 

 20 Ecken zu erreichen, jede aber nur ein- 

 mal, und schliesslich auf den Ausgangs- 

 punkt zurück zu kehren. Das analoge 

 Ikosaeder-Spiel verlangt, die 20 Flächen 

 eines regelmässigen Ikosaeders so zu be- 

 reisen, dass Jede Fläche nur einmal be- 

 sucht wird, und der Uebergang von einer Fläche zu einer 

 andern auf keine andere Weise als durch Ueberschreitung 

 der Kante geschieht, in der sieh beide Flächen schneiden. 

 Da die beiden Aufgaben nur scheinbar verschieden sind, 

 so wollen wir nur die Dodekaeder-Aufgabe näher be- 

 tracliten. Zur Vorstellung eines regulären Dodekaeders 

 gelangt der Laie am einfachsten dadurch, dass er die 

 beistellende Figur ansieht, und sich denkt, dass die 

 äusseren fünf Fünfecke um die Kanten des inneren Fünf- 



ecks nach oben umgebogen werden. Auf das so entstan- 

 dene Kästehen hat man sich denn ein genau ebenso 

 geformtes Kästchen so aufgesetzt zu denken, dass gauz 

 oben wagerecht das innere Fünfeck des zweiten Kästchens 

 zu liegen kommt, und die oberen Kauten des unteren 

 Kästchens mit den unteren Kanten des oberen Kästchens 

 zusamnieufallcn. Der so entstehende Körper wird von 

 12 Fünfecken begrenzt, sodass 20 Ecken entstehen, von 

 denen jede 3 Kanten und also auch 3 Flächen aussendet. 

 Als Gesammtzahl aller Kanten crgiebt 

 sich 30. Da der Körper lauter gleiche 

 Kanten, lauter gleiche Winkel zwischen 

 zwei Kanten und auch lauter gleiche 

 Winkel zwischen zwei Flächen besitzt, so 

 gehört er zu den 5 regulären Körpern. 

 Die Dodekaeder -Aufgabe verlangt nun, 

 dass auf einer Wanderung von irgend 

 einem Punkte aus längs des Kanten-Netzes 

 jede der 20 Ecken einmal, aber auch 

 nur einmal, berührt wird, und dass die 

 Wanderung schliesslich zu dem Ausgangs- 

 punkte zurückführt. Da nicht jeder ein 

 Dodekaeder-JIodell leicht zur Hand hat, 

 und die Mühe wohl scheut, sich selbst eins 

 zu verfertigen, so liegt es nahe, zu fragen, ob man nicht die 

 auf einen Körper bezügliche Aufgabe durch eine Aufgabe 

 ersetzen kann, die sich auf eine leicht zeiehenbare ebene 

 Figur bezieht, ohne dadurch das Wesentliche der Aufgabe 

 zu beeinträchtigen. Das Wesentliche aber ist ja nicht, 

 dass das zu durchwandernde Kanten-Netz einem Körper 

 angehört, sondern nur, dass man 20 Punkte hat, die durch 

 30 Linien .so verbunden sind, dass von jedem Punkte drei 

 ausgehen, und ausserdem noch, dass diese Linien und 



