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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



Nr. 36. 



Punkte 12 von geraden oder krummen Linien begrenzte 

 Fünfecke bilden. .Solche Figuren lassen sich aber leicht 

 auf mannigfache Weise bilden, z. B. so, wie beistehende 

 Diagramme zeigen: 



Wählen wir von diesen Surrogaten des Dodekaeders 

 das zweite, das also aus drei coiiccntrischen Kreisen be- 

 steht, von denen der mittlere sowohl mit dem inneren wie 

 mit dem äusseren durch je 5 gerade Quer-Strecken ver- 

 bunden ist! Es wird nun jedem Leser leicht gelingen, 

 die Linien dieser Figur sich so durchwandert zu denken, 

 dass jeder Punkt einmal besucht wird und der Schluss- 

 ])unkt mit dem Ausgangspunkt zusammenfällt. Hamilton 

 stellte aber von vornherein die weitere Forderung, dass 

 die fünf ersten Stationen vorgeschrieben sein sollen. Eine 

 eingehende Untersuchung ergiebt, dass auch dann die 

 Aufgabe noch immer lösbar ist, und dass bei dieser Be- 

 schränkung 2 oder 4 Lösungen 



Wahl der ersten 5 



Stationen, 

 in der 



erscheinen, je nach der 

 Sind z. ß. A, B, C, D, E 

 beistehenden Figur die 

 ersten 5 Stationen, so ergiebt die 

 weitere Wanderung FGHIKL 

 MNüPQRSTUA eine sehr 

 nahe liegende Lösung. 



Ein zweites Problem, 

 Hamilton stellte, schrieb 

 drei ersten Stationen und 

 nicht mit der Anfangs- Station 

 identische Schluss-Station will- 

 kürlich vor, hielt aber sonst an 

 der grundlegenden Forderung 

 fest, dass jede Station nur einmal besucht werden dürfe. 

 Dieses zweite Hamiton"sche Problem fuhrt zu 0, 1,4 oder 

 6 Lösungen, je nach der Wahl der gege'benen vier Sta- 

 tionen. Beispielsweise hat das Problem nur eine einzige 

 Lösung, wenn A, B, C als Anfangs-Stationen, Q als Schluss- 



das 

 die 

 die 



Station gegeben ist. Diese 



Losung 



lautet: 



ABCDEFTUNMLKIHGKSOPQ, 



wo die Buchstaben sich auf die obige aus drei 

 Kreisen zusammengesetzte Figur beziehen. Sind 

 dieselben Anfangs -Stationen, aber eine andere Schluss- 

 Station vorgeschrieben, so ergeben sich 2, 4 oder 6 Lö- 

 sungen, ausgenommen in den Fällen, wo diese Schluss- 

 Stationen K, D, F, P, M, N, T sind. In diesen Fällen hat 

 das Problem nämlich gar keine Lösung. 



Eine dritte Modification, die Hamilton dem Problem 

 gab, nahm mehrere aufeinanderfolgende Anfangs-Statiouen 



als 



gegeben an und verlangte 



dann, dass nach einer vor- 

 geschriebenen Anzahl von folgenden Stationen es unmög- 

 lich werde, weiterzureisen, ohne dass die Hauptregel des 

 Dodekaeder-Spiels, nämlich, jede Station nur einmal 

 zu besuchen, verletzt werde. Z.B. seien T, S, Q, R vier 

 gegebene Anfangs-Stationen, und sei verlangt, dass nach 

 6 weiteren Stationen die Fortsetzung der Reise unmöglich 



Falle 



ergiebt 



sich die 



eine Lösung: 



werde. In diesem 

 TSQRIHDEFG. 



Endlich bestand eine vierte Modification des Geduld- 

 spiels darin, dass eine vorgeschriebene Station bei der 

 Reise ausgeschlossen sein sollte, sonst aber dieselben 



Bedingungen erfüllt würden, wie bei dem Haupt- Problem. 

 Wenn z. B. A, B, C die Anfangs-Stationen, D die vSchluss- 

 Station sein sollen, und, wenn ausserdem der Ort M, den 

 man sich etwa als von der Cholera heimgesucht vorstellen 

 möge, ausgeschlossen sein soll, so ergeben sich zwei Lö- 

 sungen, von denen die eine heisst: 



ABCKLPQIHGRSONÜTFED. 



Kehren wir nach dieser Besprechung der Modifi- 

 catiouen des Hamilton'schen Problems zu seiner ursprüng- 

 lichen Fassung zurück! Nach dieser sollen alle 20 Stationen, 

 und zwar jede einmal, auf einer zum Anfangspunkt zu- 

 rückkehrenden Rundreise besucht werden. Schon Hamilton 

 gab in der Versammlung der British Association vom 

 Jahre 1857 eine mathematische Behandlung des Problems, 

 die auf folgenden Ueberlegungen beruht. Wenn man 

 irgend eine Station erreicht hat, so bieten sich immer zwei 

 Wege zur Weiterreise dar, weil die Station im ganzen 

 drei Ausgänge hat. Von diesen beiden Wegen muss be- 

 züglich der Richtung, in der man die Station erreicht hat, 

 der eine Weg rechts, der andere links abgehen. Wählt 

 man den Weg rechts, so sei dies mit r bezeichnet, während 

 das Links-Weiterreisen durch I ausgedrückt werde. In 

 dieser Weise kann jede Hamilton'schc Rundreise durch 

 2ü Buchstaben ausgedrückt werden, welche entweder r 

 oder 1 heissen. Beispielsweise müsste die oben zuerst 

 erwähnte Rundreise, bei welcher die Buchstaben in alpha- 

 betischer Reihenfolge erscheinen, so ausgedrückt werden : 



rrrlllrlrlrrrlUrlrl. 



Da der Schlusspunkt immer mit dem Anfangspunkt 

 identisch sein soll, so kann man aus dieser mit rrr be- 

 ginnenden Reihenfolge beliebige andere Reihenfolgen ab- 

 leiten, indem man an beliebiger Stelle anfängt und den 

 ersten Buchstaben als auf den letzten folgend ansieht. 

 Ebenso kann man auch jede solche Reihenfolge in um- 

 gekehrter Richtung lesen. In solcher Weise kann man 

 aus dieser einen als richtig erkannten Lösung alle existi- 

 renden Lösungen ableiten. Wenn nämlich die fünf An- 

 fangs-Stationen beliebig gegeben sind, so ist aus ihnen 

 die Richtung zu entnehmen, die man beim Verlassen der 

 zweiten, dann der dritten, endlich der vierten Station jedes- 

 mal einschlagen muss, nämlich ob rechts oder links. Es 

 kann also nur einer von den folgenden 8 Fällen eintreten: 



rrr, rrl, rlr, rll, Irr, Irl, llr, III, 



Alle diese sind aber aus der obigen mit rrr be- 

 ginnenden Reihenfolge als Anfänge von einer Reihenfolge 

 zu entnehmen, und zwar erkennt man, dass mit rrr die 

 obige und die umgekehrte Reihenfolge 



rrrlrlrlllrrrlrlrlll 



beginnen. Dadurch, dass man dem auf die Mitte folgenden 

 rrr anfängt, erhält man keine neue Reihenfolge, sondern 

 die alte nochmal, weil die zweite Hälfte der Reihenfolge 

 ihrer ersten Hälfte genau kongruent ist. Die beiden er- 

 haltenen, mit rrr beginnenden Reihenfolgen ergeben un- 

 mittelbar die beiden Lösungen des Problems, welche 

 möglich sind, wenn die fünf Anfangs-Stationen in der 

 durch rrr angedeuteten Folge liegen. Wenn zweitens 

 rrl der Anfang der Reihenfolge ist, so ergeben sich aus 

 der obigen mit rrr beginnenden Reihenfolge wiederum 

 zwei Reihenfolgen, nämlich: 



rrlllrlrirrrlllrlrlr 

 und: 



rrlrlrlllrrrlrlrlllr, 



woraus sich die beiden Lösungen ergeben, die möglich 

 sind, falls die tunf Anfangs-Stationen in ihrer Lage dem 

 Symbol rrl entsprechen, wie z. B. ABCDH. Ebenso 



